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Ultimo teorema di Fermat

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. I primi passi
  3. 3. Il primo caso
  4. 4. Connessioni con alcune sequenze
  5. 5. Il teorema di Wieferich
  6. 6. Il secondo caso
  7. 7. Altri tentativi
  8. 8. Verso la soluzione
  9. 9. La soluzione
  10. 10. Generalizzazioni

Sophie Germain dimostrò nel 1823 che nel primo caso l’ultimo teorema di Fermat vale se p e 2p + 1 sono primi. Fu la prima dimostrazione parziale, ma valida per un’intera grande categoria di primi e non per casi singoli. Per di più apparve subito chiaro che i primi di questo genere sono probabilmente infiniti, anche se non se ne trovò una dimostrazione (che manca tuttora).

I primi p tali che 2p + 1 sia primo sono chiamati “primi di Sophie Germain” in suo onore.

 

Malauguratamente Sophie Germain non pubblicò buona parte dei suoi lavori, che furono riscoperti solo in tempi relativamente recenti, quindi alcune delle sue scoperte furono attribuite ad altri, che vi arrivarono indipendentemente. Un caso eclatante sono le dimostrazioni che il teorema vale per p = 5, normalmente attribuita a Legendre o Dirichlet, e per p = 7, normalmente attribuita a G. Lamé, mentre questi esponenti sono tra quelli coperti dalle dimostrazioni di Sophie Germain, almeno nel primo caso.

 

Sophie Germain dimostrò che il primo caso del teorema di Fermat vale per p, se esiste un primo ausiliario q = 2kp + 1 che soddisfi due condizioni:

  • xp + yp + zp = 0 mod q implica che x, y o z siano multipli di q;

  • p non è residuo di una potenza p-esima modulo q, ossia non esiste un intero n tale che npp mod q.

In particolare le due condizioni sono soddisfatte per k = 1, quindi basta che q = 2p + 1 sia primo, perché non esistano soluzioni nel primo caso. Infatti, per ogni intero m non multiplo di p, m2p = mq – 1 ≡ 1 mod q per il piccolo teorema di Fermat, quindi m2p – 1 = (mp + 1)(mp – 1) ≡ 0 mod q, ossia mp ≡ ±1 mod q e se nessuna delle incognite fosse divisibile per q, modulo q l’equazione diverrebbe ±1 + ±1 = ±1, che è impossibile, mentre per lo stesso motivo p non può residuo di una potenza p-esima modulo q.

Legendre pubblicò la dimostrazione, attribuendola esplicitamente a Sophie Germain, alla quale spesso è erroneamente attribuita solo la dimostrazione nel caso k = 1.

 

La verifica della seconda condizione è semplificata dal teorema di Eulero, che afferma che n è residuo di una potenza p-esima modulo q se e solo se n^((q – 1) / MCD(p, q – 1)) ≡ 1 mod q.

Lo stesso teorema implica che i primi ausiliari devono essere della forma 2kp + 1, perché se p e q – 1 non avessero divisori in comune, ossia se MCD(p, q – 1) = 1, avremmo p^((q – 1) / MCD(p, q – 1)) p^(q – 1) ≡ 1 mod q per il piccolo teorema di Fermat e quindi p sarebbe residuo di una potenza p-esima modulo q.

 

La matematica francese dimostrò anche che:

  • la prima condizione equivale all’affermazione che non esistono due residui di potenze p-esime consecutivi modulo q;

  • se p non è residuo di una potenza p-esima modulo q, una delle incognite x, y o z è divisibile per p2;

  • con la notazione di Barlow, se p non divide x o y, b ≡ 1 mod p2 e se p non divide neppure z, a ≡ 1 mod p2 e c ≡ 1 mod p2.

Il secondo risultato è comunemente attribuito a Legendre, che lo pubblicò, ma attribuendolo esplicitamente a Sophie Germain.

 

Legendre raffinò la dimostrazione di Sophie Germain, dimostrando che la prima condizione vale se almeno uno dei numeri 4p + 1, 6p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1 o 16p + 1 è primo.

Per nessun primo p esiste un primo ausiliario della forma 6p + 1 che soddisfi le due condizioni, ma le altre forme permettono in genere di trovare vari primi ausiliari per ogni primo dato. Utilizzando primi ausiliari che soddisfano anche la seconda condizione, i due matematici dimostrarono che il teorema vale nel primo caso per i primi minori di 197. Si fermarono a 197, perché per p = 197 il minimo primo ausiliario possibile è 7487 e i calcoli necessari per verificarne l’idoneità erano pressoché impossibili da svolgere a mano.

 

Il piano d’attacco per il primo caso, che la matematica francese suggerì in una lettera a Gauss del 12/5/1819, era di trovare per ogni primo p un primo ausiliario q = 2kp + 1 che soddisfi la condizione del suo teorema. Per esempio, per n = 5, un primo ausiliario valido è 11, perché i resti dei numeri 15, 25, 35, … 105 modulo 11 sono solo 1 e 10, che non sono consecutivi.

Il passo successivo sarebbe stato dimostrare che per ogni primo esistono infiniti primi ausiliari e che quindi in ogni soluzione il prodotto delle tre variabili sarebbe stato multiplo di infiniti primi, cosa ovviamente impossibile.

Il piano era un raffinamento di un metodo teoricamente semplice, che era stato proposto per dimostrare il teorema, partendo dall’osservazione che nel caso dell’esponente 3, esaminando i resti modulo 9 si dimostra che una delle incognite deve essere un multiplo di 3. Infatti, i cubi degli interi sono multipli di 9 o della forma 9k ± 1; se esiste una soluzione e x e y non sono multipli di 3, x3 + y3, somma di due numeri della forma 9k ± 1 non può essere un numero della stessa forma, quindi z dev’essere un multiplo di 3. Analogamente i cubi sono multipli di 7 o della forma 7k ± 1 e in modo analogo si dimostra che in un’eventuale soluzione almeno una delle incognite dovrebbe essere un multiplo di 7. Se si riuscisse a stabilire che esiste un’infinità di primi che dividono almeno una delle incognite, ne risulterebbe che almeno un’incognita dovrebbe essere multipla di infiniti primi e questo è impossibile.

Guglielmo Libri suggerì però nel 1829 che che per ogni primo il numero di primi ausiliari è finito, affermazione dimostrata da A.E. Pellet nel 1886. Nel 1909 L.E. Dickson dimostrò che se q > (p – 1)2(p – 2)2 + 6p – 2 , la prima condizione di Sophie Germain è violata e q non può essere un primo ausiliario.

Il piano era perciò condannato all’insuccesso in generale, a causa del numero limitato di primi ausiliari disponibili: era infatti possibile che per qualche primo nessuno di essi soddisfacesse la seconda condizione. La stessa matematica francese era consapevole che il metodo non poteva funzionare sempre, perché aveva dimostrato che per p = 3 gli unici primi ausiliari sono solo 7 e 13, perché per k > 2 tutti i primi della forma 6k + 1 hanno almeno due residui cubici consecutivi; tuttavia questo caso era stato risolto da Eulero e, avendo esaminato tutti i primi minori di 100 con k da 1 a 10, sperava che potesse funzionare almeno per un insieme ampio, se non infinito, di primi.

 

A partire dalla seconda metà del XIX secolo il primo caso fu dimostrato per vaste categorie di primi; l’interesse per molte di queste dimostrazioni è però per lo più teorico, perché per ogni primo richiedono calcoli molto più complessi dei criteri sopra esposti. La speranza tuttavia era di arrivare a stabilire tante condizioni che le eventuali eccezioni dovevano soddisfare, da permettere di dimostrare che non esiste primo che le soddisfi tutte.

 

Nel 1895 E. Wendt dimostrò che i primi ausiliari devono avere la forma 2kp + 1, con k non multiplo di 3, che la seconda condizione può essere sostituita dalla condizione che p2k non dia resto 1 se diviso per q e che q non divida W2k, dove Wn è definito come il determinante Determinante definito da Wendt. Curiosamente il determinante si annulla se e solo se n è multiplo di 6.

 

Negli anni furono costruiti vari criteri basati su questo determinante, tutti di scarsa utilità pratica per la complessità dei calcoli richiesti. In seguito si scoprì inoltre che il teorema di Wendt è essenzialmente equivalente a quello di Sophie Germain.

In particolare nel 1959 L. Carlitz dimostrò che Congruenza soddisfatta dal determinante di Wendt e questo gli permise di dimostrare che il primo caso vale se pp + 33 non divide Wp – 1.

 

Nel 1897 Maillet dimostrò che il primo caso vale per tutti i primi minori di 223 e Dmitry Semionovitch Mirimanoff (Pereslavl-Zalessky, Russia, 13/9/1861 – Ginevra, Svizzera, 5/1/1945) nel 1905 portò il limite a 257.

 

Nel 1908 Dickson dimostrò che per k non multiplo di 3 e non maggiore di 13 se q = 2kp + 1 è primo, soddisfa la prima condizione, tranne in 7 casi:

  • p = 3, k = 5, 7, 10, 11, 13;

  • p = 5, k = 13;

  • p = 31, k = 11.

I casi per p uguale a 3 e 5 sono irrilevanti, essendo il teorema già dimostrato per quei primi, mentre per p = 31 esistono altri primi ausiliari.

Dickson riuscì in questo modo a provare che il primo caso del teorema vale per tutti i primi fino a 7000, con la sola eccezione di 6857.

 

Nel 1912 P. Furtwängler dimostrò che il teorema vale nel primo caso se p è un primo dispari tale che xp + yp + zp ≡ 0 mod p abbia solo la soluzione banale x = y = z = 0 ed esiste almeno un primo q = kp + 1, tale che il teorema valga per ogni divisore primo di k.

 

Nel 1926 Vandiver dimostrò che la condizione su p può essere sostituita dalla condizione che k = 2mpr, con m non multiplo di p o che q – 1 non sia multiplo di p2 o che k sia minore di 5p.

 

A quel punto era chiaro che aggiungere altri primi alla lista col metodo dei primi ausiliari o con altri criteri era solo questione di calcoli e infatti:

  • N.G.W.H. Beeger nel 1939 dimostrò che il primo caso vale per tutti i primi fino a 16000;

  • J.B. Rosser nel 1941 portò il limite a 41000000;

  • nel 1943 Emma Trotskaia Lehmer (Samara, Russia, 6/11/1906 – Berkeley, USA, 7/5/2007) col marito Derrick Henry Lehmer (Somerset, USA, 27/7/1867 – Berkeley, USA, 8/9/1938) sfruttando i risultati di Rosser dimostrarono che il primo caso vale per tutti i primi minori di 253747889;

  • nel 1948 T. Morishima e N.G. Gunderson annunciarono che il primo caso vale per tutti i primi fino a 57 miliardi.

 

Nel 1940 M. Krasner dimostrò che il teorema vale nel primo caso se p è primo ed esiste almeno un primo q = 2kp + 1, con k non multiplo di 3, 3^(k / 2) < q e 4k – 1 non multiplo di q.

 

Nel 1944 Vandiver dimostrò che il primo caso vale se esiste un primo q = 2kp + 1 con k non multiplo di 3, 2k < p e q > 3φ(2k).

 

Nel 1951, Peter Dénes dimostrò che il primo caso vale se esiste un primo q = 2kp + 1 con k non multiplo di 3 e non superiore a 50 oppure uguale a 55.

 

L.M. Adlemann, D.R. Heath-Brown e E. Fouvry dimostrarono nel 1985 che il primo caso vale per infiniti primi: un risultato storico, anche se limitato al primo caso.

 

Nel 1991 Greg Fee e Andrew Granville dimostrarono che il teorema vale nel primo caso se è primo almeno uno dei numeri della forma 2kp + 1, con 1 < k ≤ 100 e k non multiplo di 3. A questo punto le eccezioni, eventualmente da aggredire con differenti primi ausiliari, diventano molto rare: solo 59 sotto il milione, la prima delle quali è 75571.

 

Il caso degli esponenti pari si rivelò relativamente più facile. Già Fermat aveva dimostrato che non esistono soluzioni con esponenti multipli di 4; nel 1837 Kummer dimostrò che se l’esponente 2n è pari e n non divide x, y o z, allora è della forma 8k + 1. Nel 1960 L. Long dimostrò che n è della forma 120k + 1 o 120k + 49.

 

Nel 1977 G. Terjanian dimostrò infine che il teorema vale per gli esponenti pari 2n maggiori di 2 se 2n non divide x o y e quindi nel primo caso.

Bibliografia

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  • Stewart, Ian;  I grandi problemi della matematica, Torino, Einaudi, 2014 -

    trad. di The Great Mathematical Problems, Joat Enterprises, 2013

  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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