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Ultimo teorema di Fermat

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. I primi passi
  3. 3. Il primo caso
  4. 4. Connessioni con alcune sequenze
  5. 5. Il teorema di Wieferich
  6. 6. Il secondo caso
  7. 7. Altri tentativi
  8. 8. Verso la soluzione
  9. 9. La soluzione
  10. 10. Generalizzazioni

Il caso n = 2 corrisponde all’equazione x2 + y2 = z2, ben nota agli studenti, perché rappresenta il teorema di Pitagora, considerando x e y come lunghezze dei cateti e z come quella dell’ipotenusa; le soluzioni intere sono infatti note come “terne pitagoriche” (v. numeri pitagorici (I)).

 

Data la facilità con la quale si possono trovare, anche per tentativi, soluzioni dell’equazione per n = 2, potrebbe sembrare non troppo difficile trovare soluzioni per esponenti diversi, tanto più che qualche tentativo mostra che ci si può avvicinare molto alla soluzione. Per esempio, 63 + 83 = 216 + 512 = 728 e 729 = 93: bersaglio mancato per una sola unità, in difetto; oppure 93 + 103 = 729 + 1000 = 1729 e 1728 = 123: stavolta un’unità in eccesso.

Fermat però asserì che non esistono soluzioni per n > 2, pur lasciandoci all’oscuro sulla sua dimostrazione e praticamente nessuno si dedicò alla ricerca di un controesempio per tentativi, o almeno nessuno rivelò d’averci provato.

 

Il primo passo verso la dimostrazione del teorema fu pubblicato da Fermat stesso, che dimostrò che non esistono interi x, y e z tali che x4 ± y4 = z2, quindi neppure tali che x4 + y4 = z4.

Fermat lasciò in tutta la sua vita una sola dimostrazione scritta di un teorema, quello che afferma che non esiste un triangolo rettangolo con lati interi e area uguale al quadrato di un intero, che equivale ad affermare che non esistono soluzioni intere dell’equazione x4y4 = z2 (v.numeri pitagorici (I)).

Il grande francese utilizzò il metodo della “discesa infinita”, di sua invenzione; in pratica consiste nel dimostrare che data una soluzione con interi maggiori di zero, con una sequenza di passaggi semplici, consistenti in sostituzioni di variabili e manipolazioni algebriche, ingegnosamente combinati, se ne può ricavare un’altra con interi minori ma non nulli. Ripetendo il procedimento si otterrebbe una sequenza infinita di interi positivi sempre più piccoli, ma non nulli, cosa chiaramente impossibile.

Possiamo attribuire la dimostrazione dell’ultimo teorema per l’esponente 4 a Fermat con ragionevole certezza, sia perché la dimostrazione per il caso x4 + y4 = z4 è molto simile, sia perché Fermat ne propose la dimostrazione come sfida ad altri matematici, cosa che era solito fare quando era sicuro di possedere una soluzione valida.

Fermat propose come problema anche il caso dell’esponente 3, ma per questa non abbiamo indizi sulla sua dimostrazione, quindi la dimostrazione di questo caso è comunemente attribuita a Eulero.

 

Il problema si riduce quindi al caso in cui l’esponente sia un numero primo dispari, perché se n = km, l’equazione si può riscrivere come (xk)m + (yk)m = (zk)m, quindi può esistere una soluzione per n composto solo se esiste per i suoi fattori primi e la dimostrazionedi Fermat esclude il caso m = 4 e implicitamente tutte le potenze di 2 superiori.

Analogamente se le tre variabili hanno un divisore comune, dividendole per esso ci si riconduce a una soluzione più semplice, quindi nelle dimostrazioni si considerano comunemente solo i casi di variabili prive di un divisore comune.

 

Un piccolo ma significativo passo si deve a Jaquemet (1651 – 1729), che dimostrò che se p è primo, il massimo divisore comune di x + y(x^p + y^p) / (x + y) è 1 o p; la dimostrazione fu sfruttata in vari teoremi e tentativi di dimostrazione nel XIX secolo.

 

Il secondo passo importante si deve a Eulero, che il 4/8/1753 annunciò a Goldbach d’aver dimostrato che l’equazione x3 + y3 = z3, non ha soluzioni intere, sempre tramite il metodo della discesa infinita; Eulero pubblicò poi la dimostrazione nel 1770 in Algebra.

A onor del vero i matematici arabi erano giunti alla stessa conclusione circa 8 secoli prima, ma la dimostrazione era errata.

 

Nel 1810 Peter Barlow (Norwich, UK, 13/10/1776 – Londra, 1/3/1862) dimostrò che se xp + yp + zp = 0, con x, y e z interi primi tra loro, e p è un primo dispari che non divide z, allora esistono due interi a e k non multipli di p e primi tra loro, tali che x + y = ap(x^p + y^p) / (x + y) = k^p e z = –ak, con k dispari e maggiore di 1.

La dimostrazione di Barlow si ottiene facilmente da quella di Jaquemet: l’equazione si può riscrivere come –z^p = (x + y) * (x^p + y^p) / (x + y) e se p non divide z, i due fattori sono primi tra loro, quindi sono potenze p-esime, vale a dire x + y = ap e (x^p + y^p) / (x + y) = k^p, con a e k interi, e quindi z = –ak. Allo stesso modo si può dimostrare che x + z = bp(x^p + z^p) / (x + z) = m^p e y = bm, con a e m interi, e y + z = cp(y^p + z^p) / (y + z) = n^p e z = cn, con a e n interi.

Harry Schultz Vandiver (Philadelphia, USA, 21/10/1882 – Austin, USA, 9/1/1973) raffinò nel 1925 il teorema di Barlow, dimostrando che:

  • se nessuna delle incognite è divisibile per p, x + y + z è multiplo di abcp3 e a + b + c è multiplo di p2;

  • se una sola delle incognite è divisibile per p, x + y + z è multiplo di abcp2 e a + b + c non è multiplo di p.

V.M. Spunar dimostrò nel 1929 che a + b + c ≠ 0.

 

A questo punto, dopo quasi due secoli di sforzi, erano stati dimostrati solo due casi particolari e, quel che era peggio, con dimostrazioni differenti e non applicabili ad altri casi.

Nel 1816 l’Accademia delle scienze di Francia bandì un concorso per una dimostrazione del teorema, che riaccese l’interesse sul problema.

 

Nel 1823 Niels Henrik Abel (Finnøy, Norvegia, 5/8/1802 – Froland, Norvegia, 6/4/1829) dimostrò che se p divide z, allora esistono due interi a e b, non multipli di p e primi tra loro, e un intero n maggiore di 1, tali che x + y = ppn – 1ap(x^p + y^p) / (x + y) = p * k^p e z = –pnak, con k dispari e maggiore di 1.

Le dimostrazioni di Barlow e Abel furono utilizzate in alcuni teoremi e molti tentativi di dimostrazione dell’ultimo teorema.

 

Marie-Sophie Germain (Parigi, 1/4/1776 – Parigi, 27/6/1831) analizzando il problema si convinse che era utile suddividerlo in due casi: nel primo x, y e z non sono multipli di n, nel secondo una e una sola delle tre variabili lo è, perché abbiamo già visto che se due variabili sono multiple di uno stesso numero, lo è anche la terza e ci si può ricondurre a una soluzione con numeri minori.

Da allora questa divisione si è dimostrata importante, perché le dimostrazioni per esponenti di forme particolari utilizzano spesso metodi diversi nei due casi.

 

Nel 1825 Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, allora Impero francese, oggi Germania, 13/2/1805 – Göttingen, allora Prussia, oggi Germania, 5/5/1859) e Adrien-Marie Legendre (Parigi, 18/9/1752 – Parigi, 10/1/1833) dimostrarono indipendentemente e quasi simultaneamente il teorema per l’esponente 5. La dimostrazione di Legendre arrivò dopo, ma il matematico francese mise in luce una lacuna in quella di Dirichlet, che questi provvide poi a colmare e a pubblicare nel 1828.

La dimostrazione ricalca quella di Eulero: si riscrive l’equazione di Fermat come z^5 = (x + y) * (x^5 + y^5) / (x + y), dove il secondo termine può essere scritto come (U^2 – 5 * V^2) / 4, dove U e V sono polinomi di secondo grado in x e y. Sfruttando quindi la dimostrazione di Jaquemet, si dimostra che (U^2 – 5 * V^2) / 4 = w^5 o (U^2 – 5 * V^2) / 4 = 5 * w^5, nei due casi con w intero; poi, esaminando separatamente i due casi, si arriva a una soluzione con interi minori di quelli iniziali.

 

Nel 1832 Dirichlet dimostrò il teorema per l’esponente 14 e nel 1839 Gabriel Léon Jean Baptiste Lamé (Tours, Francia, 22/7/1795 – Parigi, 1/5/1870) dimostrò il teorema per l’esponente 7, con un piccolo errore, corretto da Henri Léon Lebesgue (Beauvais, Francia, 28/6/1875 – Parigi, 26/7/1941) l’anno seguente. La dimostrazione di Lamé è analoga a quella di Dirichlet e Lagrange, ma più complicata; Lebesgue la semplificò usando l’identità (x + y + z)7 – (x7 + y7 + z7) = 7(x + y)(x + z)(y + z)((x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz)2 + xyz(x + y + z)).

 

I metodi di Dirichlet, Lamé e Lagrange però non potevano essere adattati a esponenti superiori: il primo caso non risolto era diventato 11 e non sembrava possibile attaccarlo col metodo della discesa infinita; era inoltre chiaro che aumentando l’esponente le espressioni algebriche da trattare sarebbero rapidamente diventate ingestibili.

Bibliografia

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  • Stewart, Ian;  I grandi problemi della matematica, Torino, Einaudi, 2014 -

    trad. di The Great Mathematical Problems, Joat Enterprises, 2013

  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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