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Ultimo teorema di Fermat

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. I primi passi
  3. 3. Il primo caso
  4. 4. Connessioni con alcune sequenze
  5. 5. Il teorema di Wieferich
  6. 6. Il secondo caso
  7. 7. Altri tentativi
  8. 8. Verso la soluzione
  9. 9. La soluzione
  10. 10. Generalizzazioni

“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet” (“Non si può suddividere un cubo in due cubi o un biquadrato in due biquadrati e più in generale nessuna potenza oltre i quadrati fino all’infinito in due con lo stesso esponente: di questa cosa trovai una dimostrazione davvero mirabile. L’esiguità di questo margine non la conterrebbe”).

Questa nota di Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17/8/1601 – Castes, Francia, 12/1/1665), scritta in margine a una copia della traduzione di Claude Gaspard Bachet de Méziriac (Bourg-en-Bresse, Francia, 9/10/1581 – Bourg-en-Bresse, Francia, 26/2/1638) dell’Aritmetica di Diofanto (Alessandria, tra il 201 e il 215 – tra il 285 e il 299) segnò la nascita di uno di problemi più famosi della matematica, che tenne in scacco i matematici per oltre tre secoli e mezzo.

La nota in margine al libro venne alla luce nel 1670, quando il figlio di Fermat, Clément-Samuel, avendo impiegato cinque anni per raccogliere ed esaminare le lettere e gli appunti del padre, pubblicò un’edizione della traduzione di Bachet dell’Aritmetica, con le note del padre.

In termini moderni Fermat affermava d’aver dimostrato che non esistono soluzioni intere dell’equazione xn + yn = zn per n > 2 e le tre incognite maggiori di zero.

 

Non è chiaro se l’affermazione possa essere catalogata come congettura, perché Fermat asserì d’aver trovato una dimostrazione, che non ci è pervenuta. Potrebbe anche essere stata sbagliata, ma l’affermazione resterebbe un teorema errato, non una congettura, perché chi propone un’affermazione come congettura dichiara implicitamente di crederla vera, ma di non saperla dimostrare.

L’affermazione è passata alla storia come “l’ultimo teorema di Fermat” non perché sia stato l’ultimo teorema dimostrato o proposto dal grande matematico francese, ma perché restò per secoli l’ultimo da provare. Fermat, infatti, amava proporre quesiti ai colleghi matematici e sfidarli a dimostrare teoremi, ma generalmente non divulgava le dimostrazioni che aveva trovato. I matematici si affannarono quindi a cercare le dimostrazioni e alla fine questo restò l’unico teorema non dimostrato. Per esempio, l’affermazione che tutti e soli i numeri primi della forma 4k + 1 possono essere rappresentati come somma di due quadrati di interi in esattamente un modo era corretta, ma fu dimostrata solo un secolo dopo, da Eulero.

Dato che di tutte le altre affermazioni che Fermat aveva asserito d’aver provato era stata alla fine trovata una dimostrazione, gli esperti erano convinti che anche l’ultimo teorema fosse corretto; inoltre la dimostrazione doveva essere stata ottenuta con le tecniche disponibili a Fermat nel XVII secolo e quindi, sebbene probabilmente molto ingegnosa, non doveva essere impossibile da ricostruire disponendo di conoscenze maggiori. Ciò spinse schiere di esperti, appassionati ed entusiasti, spesso scarsamente preparati, a cimentarsi nell’impresa.

La dimostrazione di Fermat non venne mai trovata; tra le sue carte, accuratamente esaminate dopo la sua morte, non venne trovato il minimo accenno a una possibile via per arrivarci. L’opinione prevalente oggi è che Fermat credette d’aver dimostrato il teorema, ma commise un errore, perché una dimostrazione con tecniche elementari è stata a lungo cercata invano, e la dimostrazione finalmente trovata da Wiles utilizza tecniche che non erano accessibili al genio francese.

E’ possibile che lo stesso Fermat si sia accorto dell’errore, perché non affermò mai nella sua corrispondenza d’aver trovato una dimostrazione, né la propose come problema ad altri matematici, com’era invece solito fare quando era sicuro delle sue scoperte. Propose invece il problema di dimostrare che la somma di due cubi non può essere un cubo e questo è un tenue indizio del fatto che si fosser reso conto dell’errore, ma avesse trovato una dimostrazione valida per i cubi.

 

La fama di cui godette il problema si deve al fatto che il problema può essere compreso da chiunque e che i migliori matematici per secoli non siano riusciti a dimostrarlo, più che dalla sua importanza intrinseca. Vi sono moltissimi teoremi teoremi che iniziano con “supponendo vera l’ipotesi di Riemann…”, ma nessun teorema importante dipende dall’ultimo teorema di Fermat: la sua dimostrazione non è un passo intermedio, ma piuttosto un traguardo a sé stante, che di per sé non costituisce un grande progresso della matematica. Piuttosto molti sperarono per secoli che le tecniche utilizzate per dimostrarlo potessero rivelarsi utili per risolvere altri problemi o per dimostrare teoremi più generali, come in effetti avvenne.

 

Che ci crediate o meno, l’ultimo teorema salvò almeno una vita: l’industriale appassionato di matematica tedesco Paul Friedrich Wolfskehl (Darmstadt, Germania, 30/6/1855 – 13/9/1906) innamorato di una donna (della quale non si è mai saputo il nome) e da lei respinto, decise di suicidarsi. Preciso com’era, fissò la data, stabilì che si sarebbe sparato a mezzanotte e nel giorno fatale, sistemati i propri affari, scrisse il testamento e alcune lettere per amici e parenti. Avendo terminato le operazioni preliminari con ampio margine e non volendo modificare i suoi piani, andò in biblioteca, prese un libro a caso cominciò a leggere. Si ritrovò ad esaminare il lavoro di Kummer, che spiegava il motivo del fallimento dei tentativi di Lamé e Cauchy, e trovò un punto nel quale Kummer dava per scontata un’affermazione, senza dimostrarla. Riflettendoci sopra Wolfskehl s’accorse che se Kummer si fosse sbagliato su quel punto, forse si sarebbe potuto riabilitare il metodo di Lamé, quindi s’impegnò a cercare una dimostrazione o una confutazione dell’affermazione di Kummer e all’alba finì, avendo trovato la dimostrazione omessa: il metodo di Lamé non poteva funzionare. Intanto però l’ora del suicidio era passata da un pezzo e Wolfskehl era fiero del suo piccolo contributo alla Matematica; lo sconforto era passato e gli era tornata la gioia di vivere, nella speranza di poter fare ulteriori passi avanti. Stracciò quindi le lettere e in seguito, non riuscendo a dare un contributo significativo alla dimostrazione del teorema, pensò di sdebitarsi verso il problema che gli aveva salvato la vita lasciando un premio di 100000 marchi per la dimostrazione dell’ultimo teorema, purché entro il 13/9/2007, 99 anni dopo la sua morte.

Da allora sull’università di Göttingen, incaricata di decidere l’attribuzione del premio, si abbatté un diluvio di dimostrazioni (errate) di matematici professionisti, amatori ed entusiasti poco preparati: 621 solo nel primo anno, almeno 5000 in totale. E’ interessante notare che le clausole del lascito, molto precise, non prevedevano alcun premio nel caso il teorema fosse stato confutato, trovando un controesempio. Prevedevano anche che ogni anno la notizia del premio venisse divulgata su molte riviste matematiche, ma in breve tempo nessuna volle più pubblicarla, perché le redazioni venivano subissate di lettere e manoscritti.

Il premio fu infine assegnato a Wiles il 27/6/1997, per un valore, considerando l’inflazione dopo le due guerre mondiali e gli interessi maturati, sceso a circa 75000 marchi. Se il premio fosse stato convertito in oro nel 1906, il suo valore nel 1997 sarebbe stato di circa 600000 marchi.

 

Anche l’accademia di Francia offrì nel 1816 un premio per la dimostrazione del teorema, rinnovato nel 1850. Il premio fu cancellato nel 1856, perché una dimostrazione non sembrava imminente, e la somma fu assegnata a Kummer, per i suoi contributi alla soluzione, almeno parziale. Naturalmente questo non bastò a evitare il solito diluvio di dimostrazioni più o meno farneticanti.

 

Nonostante il teorema sia stato dimostrato, la febbre della ricerca di una dimostrazione semplice non accenna ancora a calare e molti matematici, famosi e non, ricevono di tanto in tanto dimostrazioni da esaminare.

 

Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Hannover, Germania, 4/12/1852 – Monaco, Germania, 6/3/1939), celebre per aver dimostrato che π è trascendente, fu il matematico che produsse il maggior numero di dimostrazioni, tutte rivelatesi errate, ma molti altri matematici illustri caddero in errori di vario genere, nel tentativo di dimostrare l’elusivo teorema. Immaginate la quantità di svarioni prodotti da inesperti entusiasti a caccia di gloria (e soldi).

 

Tra i casi più sfortunati di dimostrazioni errate va annoverato quello di Jepimaschko, che nel 1970 pubblicò una dimostrazione del teorema, nel caso in cui x, y e z non sono multipli dell’esponente p, basata sulla dimostrazione di D.G. Grebeniuk (1956) che se p è primo e un intero m divide x + y + z e non ha divisori in comune con i tre numeri, m divide 2p – 1 – 1. La dimostrazione di Jepimaschko era corretta, ma quella di Grebeniuk si rivelò errata (dopo 14 anni dalla pubblicazione), invalidando così il lavoro del matematico bielorusso.

Bibliografia

  • Aczel, Amir D.;  L’enigma di Fermat, Milano, Il saggiatore, 1998.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Mordell, Louis Joel;  Three Lectures on Fermat’s Last Theorem, Cambridge University Press, ristampato da Chelsea Publ. Co., New York, 1962, e da VEB Deutscher Verlag d. Wiss., Berlino, 1972, 1921.
  • Ribenboim, Paulo;  13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, New York, Springer-Verlag, 1979.
  • Singh, Simon;  L’ultimo teorema di Fermat, Milano, Rizzoli, trad. di Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate Ltd., 1997, 1997.
  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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