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Buss (congettura di) (I)

Congetture  Teoria dei numeri 

Frank Buss definì una procedura che sembra capace di produrre solo numeri primi; ecco il suo algoritmo:

  • si inizia con f(1) = 1;

  • si calcola B(n) prendendo il primo successivo a f(n) + 1 e sottraendo f(n);

  • si calcola f(n + 1) = f(n)B(n).

 

La tabella seguente mostra i primi valori ottenuti.

n

f(n)

Minimo primo maggiore di f(n) + 1

B(n)

1

1

3

2

2

2

5

3

3

6

11

5

4

30

37

7

5

210

223

13

6

2730

2741

11

7

30030

30047

17

8

510510

510529

19

9

9699690

9699713

23

10

223092870

223092907

37

I valori di B(n) sono tutti primi, anche se non in ordine.

 

La sequenza inizia con: 2, 3, 5, 7, 13, 11, 17, 19, 23, 37, 73, 29, 31, 43, 79, 53, 83, 67, 41, 47, 179, 149, 181, 103, 71, 59, 197, 167, 109, 137, 107, 251, 101, 157, 199, 283, 211, 277, 173, 127, 269, 61, 89, 271, 151, 191, 227, 311, 409, 577, 331, 281, 313, 307, 223, 491, 439, 233, 367.

 

Il calcolo è stato continuato fino a n = 666 (Robert Smith, 2006), trovando sempre numeri primi. Non è difficile dimostrare che i vari B(n) sono primi tra loro, ma nessuno ha sinora dimostrato che si generano solo primi.

 

La procedura assomiglia a quella per il calcolo dei primi di Fortune e probabilmente ha successo per lo stesso motivo.

 

Buss suppose che la procedura generi solo primi e tutti i primi; la procedura di Fortune invece non genera mai alcuni primi, il minimo dei quali è 11, e genera due volte alcuni primi, il minimo dei quali è 23.

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