Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Buss (congettura di) (I)

Congetture  Teoria dei numeri 

Frank Buss definì una procedura che sembra capace di produrre solo numeri primi; ecco il suo algoritmo:

  • si inizia con f(1) = 1;

  • si calcola B(n) prendendo il primo successivo a f(n) + 1 e sottraendo f(n);

  • si calcola f(n + 1) = f(n)B(n).

 

La tabella seguente mostra i valori ottenuti per n fino a 20.

n

f(n)

Minimo primo maggiore di f(n) + 1

B(n)

1

1

3

2

2

2

5

3

3

6

11

5

4

30

37

7

5

210

223

13

6

2730

2741

11

7

30030

30047

17

8

510510

510529

19

9

9699690

9699713

23

10

223092870

223092907

37

11

8254436190

8254436263

73

12

602573841870

602573841899

29

13

17474641414230

17474641414261

31

14

541713883841130

541713883841173

43

15

23293697005168590

23293697005168669

79

16

1840202063408318610

1840202063408318663

53

17

97530709360640886330

97530709360640886413

83

18

8095048876933193565390

8095048876933193565457

67

19

542368274754523968881130

542368274754523968881171

41

20

22237099264935482724126330

22237099264935482724126377

47

 

La sequenza dei valori di B(n) inizia con: 2, 3, 5, 7, 13, 11, 17, 19, 23, 37, 73, 29, 31, 43, 79, 53, 83, 67, 41, 47, 179, 149, 181, 103, 71, 59, 197, 167, 109, 137, 107, 251, 101, 157, 199, 283, 211, 277, 173, 127, 269, 61, 89, 271, 151, 191, 227, 311, 409, 577, 331, 281, 313, 307, 223, 491, 439, 233, 367.

Qui trovate i primi 3724 termini della sequenza (Robert Price e Dana Jacobsen, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Il calcolo è stato continuato fino a limiti via via crescenti, trovando sempre numeri primi:

  • fino a n = 666 da Robert Smith, nel 2006;

  • fino a n = 1000 da Robert Price, nel 2013;

  • fino a n = 3724 da Dana Jacobsen, nel 2015.

 

Non è difficile dimostrare che i vari B(n) sono primi tra loro, ma nessuno ha sinora dimostrato che si generano solo primi.

 

La procedura assomiglia a quella per il calcolo dei primi di Fortune e probabilmente ha successo per un motivo analogo.

 

Buss suppose che la procedura generi solo primi e tutti i primi; la procedura di Fortune invece non genera mai alcuni primi, il minimo dei quali è 11, e genera due volte alcuni primi, il minimo dei quali è 23.

 

Sembra che la procedura funzioni per molti valori di f(1) maggiori di 3, ma non tutti; la tabella seguente riporta le eccezioni per f(1) fino a 100 e n fino a 100 (M. Fiorentini, 2020).

f(1)

n

B’(n)

7

1

4

13

1

4

19

1

4

23

1

6

23

10

49

25

1

4

31

1

6

33

1

6

37

1

4

43

1

4

43

3

9

46

2

9

47

1

6

49

1

4

53

1

6

55

1

4

59

2

9

59

6

25

61

1

6

63

1

4

65

3

9

67

1

4

69

10

4

71

6

25

73

1

6

75

1

4

79

1

4

79

2

15

83

1

6

85

1

4

88

1

9

89

1

8

91

1

6

93

1

4

97

1

4

97

2

9

97

4

25

98

5

25

 

Buss propose anche una procedura analoga, che sembra capace di produrre solo numeri primi:

  • si inizia con f(1) = 4;

  • si calcola B’(n) prendendo il massimo primo che minore di f(n) – 1 e sottraendo f(n);

  • si calcola f(n + 1) = f(n)B’(n).

 

La tabella seguente mostra i valori ottenuti per n fino a 20.

n

f(n)

Massimo primo minore di f(n) – 1

B’(n)

1

4

2

2

2

8

5

3

3

24

19

5

4

120

113

7

5

840

829

11

6

9240

9227

13

7

120120

120103

17

8

2042040

2042021

19

9

38798760

38798729

31

10

1202761560

1202761531

29

11

34880085240

34880085217

23

12

802241960520

802241960479

41

13

32891920381320

32891920381277

43

14

1414352576396760

1414352576396723

37

15

52331045326680120

52331045326680031

89

16

4657463034074530680

4657463034074530621

59

17

274790319010397310120

274790319010397310067

53

18

14563886907551057436360

14563886907551057436293

67

19

975780422805920848236120

975780422805920848236041

79

20

77086653401667747010653480

77086653401667747010653409

71

 

La sequenza dei valori di B’(n) inizia con: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 29, 23, 41, 43, 37, 89, 59, 53, 67, 79, 71, 137, 109, 239, 167, 199, 47, 83, 97, 61, 373, 101, 179, 193, 131, 151, 73, 263, 593, 139, 113, 157, 103, 241, 181, 397, 233, 617, 311, 191, 229, 271, 269, 127, 223, 331, 337, 211, 1637.

Qui trovate i primi 1000 termini della sequenza (M. Fiorentini, 2020).

 

Anche in questo caso i valori di B’(n) calcolati finora sono tutti primi, anche se non in ordine; non è difficile dimostrare che i vari B’(n) sono primi tra loro, ma nessuno ha sinora dimostrato che si generano solo primi.

 

Sembra che la procedura funzioni per molti valori di f(1) maggiori di 3, ma non tutti; per f(1) fino a 100 e n fino a 100 vi sono le seguenti eccezioni (M. Fiorentini, 2020):

f(1)

n

B’(n)

11

1

4

17

1

4

17

3

9

19

7

25

23

1

4

27

1

4

29

1

6

35

1

4

37

1

6

38

6

25

41

1

4

41

4

9

47

1

4

47

3

9

49

2

9

51

1

4

53

1

6

57

1

4

59

1

6

61

2

9

65

1

4

67

1

6

68

2

9

71

1

4

77

1

4

77

2

15

79

1

6

83

1

4

83

2

15

87

1

4

89

1

6

93

1

4

95

1

6

95

29

121

97

1

8

98

1

9

 

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