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Primi di Fortune

Teoria dei numeri 

L’antropologo neozelandese Reo Franklin Fortune (1903 – 1979) notò che se q(p) è il minimo numero primo maggiore di p# + 1, q(p) – p# è primo, almeno per i valori più piccoli di p, e avanzò la congettura che lo sia sempre. La congettura si basa sull’osservazione che generalmente q(p) – p# non è molto maggiore di p e non può essere multiplo di primi non superiori a p.

 

I valori di q(p) – p# si chiamano “numeri di Fortune”, mentre i numeri primi ottenibili in questo modo si dicono “fortunate”, in inglese, che non possiamo a rigore tradurre con “fortunati”, ma forse meglio con “fortunei” o “primi di Fortune”. La congettura di Fortune afferma quindi che tutti i numeri di Fortune sono primi.

Il 13 è un primo di Fortune, perché 7# + 13 = 223 è il minimo primo maggiore di 7# + 1.

Notate che anche 3# + 13 = 19 e 5# + 13 = 43 sono primi, ma 19 e 43 non sono i più piccoli numeri primi maggiori di 3# + 1 e 5# + 1.

Un numero può anche essere fortuneo in più modi; il minimo è 23: 11# + 23 = 2333 e 19# + 23 = 9699713 sono i minimi numeri primi maggiori di 11# + 1 e 19# + 1. Il successivo è 61: 29# + 61 = 6469693291 e 59# + 61 = 1922760350154212639131.

 

Se esaminiamo invece il massimo primo r(p) minore di p# – 1, anche la differenza p# – r(p) non è divisibile per primi minori di p e viene naturale supporre che sia un numero primo; in questa forma la congettura è nota anche come “congettura di Carpenter” o “congettura di Banderier”.

 

I numeri ottenuti in questo modo non hanno ancora un nome: talvolta vengono chiamati “numeri di Fortune minori”, mentre non sembra appropriato “numeri s-fortunati” o “numeri s-fortunei”, perché alcuni primi appartengono a entrambe le categorie e sembra poco appropriato chiamarli sia fortunei, sia sfortunei.

La congettura di Carpenter afferma quindi che tutti i numeri di Fortune minori sono primi.

 

La procedura di Fortune produce i seguenti primi: 3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, 89, 103.... Alcuni, a partire da 23, sono ripetuti, ma altri, come 2, 11, 29 e infiniti altri, non appaiono mai, quindi non sono primi di Fortune.

I primi non di Fortune fino a 1000 sono: 2, 11, 29, 31, 41, 43, 53, 73, 83, 97, 113, 131, 137, 139, 149, 173, 179, 181, 193, 211, 227, 241, 251, 257, 263, 269, 281, 317, 337, 347, 349, 359, 367, 389, 431, 433, 449, 463, 467, 479, 487, 503, 521, 541, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 647, 659, 661, 673, 677, 683, 701, 709, 719, 739, 761, 787, 797, 809, 811, 821, 827, 853, 881, 887, 907, 953, 967, 977, 997

Qui trovate i primi 2000 numeri primi generati dalla procedura (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate i primi non di Fortune fino a 17377 (Charles R. Greathouse IV, Eric Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La seconda procedura produce i seguenti primi: 3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, 59, 47, 89, 67, 73, 107, 89.... Anche in questo caso alcuni, a partire da 89, sono ripetuti e altri, a partire da 5, non appaiono mai.

I primi non di Fortune minori fino a 1000 sono: 2, 5, 19, 31, 37, 53, 61, 71, 79, 103, 109, 137, 139, 149, 157, 163, 167, 181, 193, 199, 211, 229, 241, 269, 271, 277, 283, 337, 349, 353, 359, 383, 397, 401, 409, 419, 421, 461, 463, 487, 491, 503, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 617, 643, 647, 653, 673, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 787, 809, 821, 823, 827, 829, 853, 877, 887, 929, 941, 947, 953, 977, 997.

Qui trovate i primi 1999 numeri primi generati dalla seconda procedura (Pierre Cami, Robert G. WIlson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate i primi non di Fortune minori fino a 17387 (Charles R. Greathouse IV, Eric Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Un primo pn, se presente in una delle sequenze, deve comparire entro i primi n – 1 termini: 11 è il quinto numero primo e siccome non compare entro i primi 4 posti della prima sequenza non vi comparirà mai.

 

I primi minori di 1000 che sono sia di Fortune, sia di Fortune minori sono: 3, 7, 13, 17, 23, 47, 59, 67, 89, 101, 107, 127, 151, 191, 197, 223, 233, 239, 293, 307, 311, 313, 331, 373, 379, 439, 443, 457, 499, 509, 523, 601, 607, 613, 619, 631, 641, 691, 769, 773, 839, 857, 859, 863, 883, 911, 919, 937, 971, 983, 991.

I primi minori di 1000 che non sono né di Fortune, né di Fortune minori sono: 2, 31, 53, 137, 139, 149, 181, 193, 211, 241, 269, 337, 349, 359, 463, 487, 503, 557, 563, 569, 571, 577, 647, 673, 719, 739, 761, 787, 809, 821, 827, 853, 887, 953, 977, 997.

Qui trovate i primi che sono sia di Fortune sia di Fortune minori fino a 17387.

Qui trovate i primi che non sono né di Fortune né di Fortune minori fino a 17387.

 

Sono state avanzate altre congetture simili relative ai primoriali, come la congettura di Mac Eachen, secondo la quale ogni numero primo può essere espresso in una delle quattro forme: Q ± 1 o Q ± p, dove Q è un prodotto di primoriali e p è un primo.

Sokol avanzò una congettura più forte: ogni numero primo può essere espresso in una delle quattro forme: p# ± 1 o p# ± q, dove p e q sono primi. Si tratta di un tentativo di superare i limiti del metodo di Fortune, che non genera tutti i primi, permettendo a un primo di essere non necessariamente il più vicino a un primoriale, ma a una distanza da un primoriale che sia a sua volta numero primo. Naturalmente q dev’essere maggiore di p, altrimenti il numero risultante sarebbe multiplo di p, ma non è affatto garantito che p# + q sia primo: per ogni valore di p, vi sono infiniti primi q per i quali p# + q non è primo; per esempio, 2# + 7 = 9 = 32, 3# + 19 = 25 = 52, 5# + 19 = 49 = 72, 7# + 11 = 221 = 13 • 17. Analogamente p# – q non è necessariamente primo se q > p; per esempio, 3# – 2 = 4 = 22, 7# – 23 = 187 = 11 • 17 e 11# – 19 = 2291 = 29 • 79.

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