Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di quadrati
  3. 3. Insiemi che producono quadrati tramite addizioni e moltiplicazioni
  4. 4. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati
  5. 5. Rappresentazione degli interi come differenza di quadrati
  6. 6. Proprietà basate sulle cifre

In base 10 un quadrato può terminare con 0, 1, 4, 5, 6 o 9; la penultima cifra può essere una qualsiasi delle 10 e ogni combinazione di terzultima e penultima è possibile. Questo potrebbe suggerire che ogni combinazione delle ultime cifre, esclusa l’ultima, possa essere ottenuta, ma non è vero: quartultima, terzultima e penultima non possono essere 101, cioè non esiste alcun quadrato che termini in 101x, quale che sia la cifra x.

 

Un quadrato può terminare con 3 cifre uguali se sono 0 o 4 e con 4 o più cifre uguali solo se sono zeri.

 

Vi sono numeri uguali al quadrato della somma delle due parti nelle quali possono essere divisi; quelli inferiori a 1012 sono (M. Fiorentini, 2016):

1 = (0 + 1)2,

81 = (8 + 1)2,

100 = (10 + 0)2,

2025 = (20 + 25)2,

3025 = (30 + 25)2,

9801 = (98 + 1)2,

10000 = (100 + 0)2,

88209 = (88 + 209)2,

494209 = (494 + 209)2,

998001 = (998 + 1)2,

1000000 = (1000 + 0)2,

4941729 = (494 + 1729)2,

7441984 = (744 + 1984)2,

23804641 = (238 + 4641)2,

24502500 = (2450 + 2500)2,

25502500 = (2550 + 2500)2,

28005264 = (28 + 5264)2,

52881984 = (5288 + 1984)2,

60481729 = (6048 + 1729)2,

99980001 = (9998 + 1)2,

100000000 = (10000 + 0)2,

300814336 = (3008 + 14336)2,

493817284 = (4938 + 17284)2,

1518037444 = (1518 + 37444)2,

6049417284 = (60494 + 17284)2,

6832014336 = (68320 + 14336)2,

9048004641 = (90480 + 4641)2,

9999800001 = (99998 + 1)2,

10000000000 = (100000 + 0)2,

20408122449 = (20408 + 122449)2,

21948126201 = (21948 + 126201)2,

33058148761 = (33058 + 148761)2,

35010152100 = (35010 + 152100)2,

43470165025 = (43470 + 165025)2,

101558217124 = (101558 + 217124)2,

108878221089 = (108878 + 221089)2,

123448227904 = (123448 + 227904)2,

127194229449 = (127194 + 229449)2,

152344237969 = (152344 + 237969)2,

213018248521 = (213018 + 248521)2,

217930248900 = (217930 + 248900)2,

249500250000 = (249500 + 250000)2,

250500250000 = (250500 + 250000)2,

284270248900 = (284270 + 248900)2,

289940248521 = (289940 + 248521)2,

371718237969 = (371718 + 237969)2,

393900588225 = (39390 + 588225)2,

413908229449 = (413908 + 229449)2,

420744227904 = (420744 + 227904)2,

448944221089 = (448944 + 221089)2,

464194217124 = (464194 + 217124)2,

626480165025 = (626480 + 165025)2,

660790152100 = (660790 + 152100)2,

669420148761 = (669420 + 148761)2,

725650126201 = (725650 + 126201)2,

734694122449 = (734694 + 122449)2,

923594037444 = (923594 + 37444)2,

989444005264 = (989444 + 5264)2,

999998000001 = (999998 + 1)2,

1000000000000 = (1000000 + 0)2.

I numeri di questo genere sono infiniti, perché comprendono tutti i quadrati delle forme:

  • 100n = (10n + 0)2, per n > 0;

  • (10n – 1)2 = ((10n – 2) + 1)2, per n > 0;

  • (5 • 102n + 1 – 5 • 10n)2 = ((25 • 102n – 5 • 10n) + 25 • 102n)2, per n ≥ 0

  • (5 • 102n + 1 + 5 • 10n)2 = ((25 • 102n + 5 • 10n) + 25 • 102n)2, per n ≥ 0.

I numeri di questo genere con le due parti formate da al massimo n cifre (contando gli zeri iniziali, quindi per esempio in 9048004641 = (90480 + 4641)2 le due parti sono considerate di 5 cifre) sono almeno Numero massimo di numeri con le due parti formate da al massimo n cifre e al massimo 2n + 1n – 1 (M. Fiorentini, 2016).
 

Vi sono numeri uguali alla somma dei quadrati delle due parti nelle quali possono essere divisi; quelli inferiori a 1012 sono (M. Fiorentini, 2016):

1 = 02 + 12,

101 = 102 + 12,

1233 = 122 + 332,

8833 = 882 + 332,

10001 = 1002 + 12,

10100 = 102 + 1002,

990100 = 9902 + 1002,

1000001 = 10002 + 12,

5882353 = 5882 + 23532,

94122353 = 94122 + 23532,

99009901 = 9902 + 99012,

100000001 = 100002 + 12,

100010000 = 1002 + 100002,

1765038125 = 176502 + 381252,

2584043776 = 258402 + 437762,

7416043776 = 741602 + 437762,

8235038125 = 823502 + 381252,

9901009901 = 990102 + 99012,

10000000001 = 1000002 + 12,

48600220401 = 48602 + 2204012,

116788321168 = 1167882 + 3211682,

123288328768 = 1232882 + 3287682,

601300773101 = 601302 + 7731012,

876712328768 = 8767122 + 3287682,

883212321168 = 8832122 + 3211682,

990100990100 = 990102 + 9901002,

999900010000 = 9999002 + 100002.

I numeri di questo genere sono infiniti, perché comprendono tutti i numeri della forma 102n + 12.

I numeri di questo genere con le due parti formate da n cifre (contando gli zeri iniziali, quindi per esempio in 9901009901 = 990102 + 99012 le due parti sono considerate di 5 cifre) sono Numero di numeri con le due parti formate da n cifre, dove ep è l’esponente del primo p nella scomposizione di 102n e il prodotto va calcolato sui primi della forma 4k + 1 (M. Fiorentini, 2016).

 

Il quadrato del numero ottenuto invertendo l’ordine delle cifre di 13 si ottiene invertendo l’ordine delle cifre del quadrato di 13: 132 = 169 e 312 = 961; non si conoscono altri numeri con questa proprietà.

 

Gli unici interi noti il cui quadrato si scriva con due sole cifre diverse, eventualmente ripetute, sono:

  • i numeri della forma 10n, 2 • 10n e 3 • 10n, i quadrati dei quali sono rispettivamente 102n, 4 • 102n e 9 • 102n;

  • i quadrati di due cifre 42 = 16, 52 = 25, 62 = 36, 72 = 49, 82 = 64, 92 = 81;

  • 112 = 121;

  • 122 = 144;

  • 152 = 225;

  • 212 = 441;

  • 222 = 484;

  • 262 = 676;

  • 382 = 1444;

  • 882 = 7744;

  • 1092 = 11881;

  • 1732 = 29929;

  • 2122 = 44944;

  • 2352 = 55225;

  • 2642 = 69696;

  • 31142 = 9696996;

  • 816192 = 6661661161.

Se ne esistono altri, sono maggiori di 3.16 • 1020.

 

Il massimo numero noto il cui quadrato si scriva con tre sole cifre distinte è 814016373454653955129914842 = 6626226562522666562566262626266252566552622656522256.

 

Non si conoscono quadrati scritti con le sole cifre 0, 1 e 3 oppure 6, 7 e 8.

 

Il massimo quadrato noto che si scriva con cifre che sono quadrati maggiori di zero (quindi 1, 4 e 9) è 419994999149149944149149944191494441 = 6480702115891070212; se ve ne sono di maggiori, sono maggiori di 1042 (Jacobson e Applegate).

 

Le uniche basi nelle quali tutti i quadrati dei numeri primi rispetto alla base finiscono in 1 sono: 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

 

L’unico intero noto il cui quadrato non contenga cifre isolate (ossia tale che tutte le cifre compaiano a blocchi di almeno due) è 88: 882 = 7744.

 

Gli unici interi uguali alla somma dei quadrati delle loro cifre sono 0 e 1 (v. numeri di Armstrong).

 

Se si sommano i quadrati delle cifre di un intero, si ottiene un altro numero, generalmente inferiore; per esempio, partendo da 1234, si arriva a 12 + 22 + 32 + 42 = 30. Iterando il procedimento si arriva a 1 o al ciclo: 145, 43, 20, 4, 16, 37, 58, 89 (v. numeri felici).

 

Gli unici interi uguali alla somma delle cifre del loro quadrato sono 0, 1 e 9: 92 = 81.

 

L’unico intero uguale alla somma delle sue cifre e del loro quadrato è 90: 9 + 0 + 92 + 02 = 90.

 

Su Mathematical Diamonds si trova una semplice dimostrazione del fatto che in un intero di almeno 16 cifre si trova una sequenza di cifre (eventualmente ridotta a una sola cifra), il prodotto delle quali è un quadrato; per le generalizzazioni v. potenze.

 

I Babilonesi utilizzavano una rappresentazione dei numeri in base 60; per le moltiplicazioni avrebbero dovuto usare una tabella 60 × 60, decisamente scomoda e quasi impossibile da imparare a memoria; risolsero il problema utilizzando l’identità Identità per semplificare il calcolo dei prodotti: in questo modo, infatti, con una semplice tabella dei quadrati di dimensioni ragionevoli e poche facili operazioni potevano calcolare rapidamente il prodotto di due “cifre” sessagesimali. La stessa identità è usata per calcolare velocemente prodotti a mente, soprattutto se a + b e ab hanno una forma particolare, che rende agevole il calcolo del quadrato.

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

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    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

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    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

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    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

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    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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