Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di quadrati
  3. 3. Insiemi che producono quadrati tramite addizioni e moltiplicazioni
  4. 4. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati
  5. 5. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati e altri addendi
  6. 6. Rappresentazione degli interi come differenza di quadrati
  7. 7. Proprietà basate sulle cifre

Le differenze di quadrati pongono problemi relativamente più facili rispetto alle somme.

 

Tutti e soli i numeri naturali della forma 4n + 2 non si possono esprimere come differenza di due quadrati; infatti:

  • un intero della forma n = 22m(2k + 1) con k > 0 può essere espresso come n = (2m(k + 1))2 – (2mk)2;

  • un intero della forma n = 22m + 1(2k + 1) con k > 0 e m > 0 può essere espresso come n = (2m – 1(2k + 3))2 – (2m – 1(2k – 1))2;

  • un intero della forma n = 22m + 1 con m > 0 può essere espresso come n = (3 • 2m – 1)2 – (2m – 1)2;

  • un intero della forma n = 22m con m > 0 può essere espresso come n = (22m – 2 + 1)2 – (22m – 2 – 1)2.

Ogni numero naturale si può rappresentare come somma o differenza di al massimo 3 quadrati, dato che per i numeri per i quali non bastano 2 quadrati si può utilizzare l’identità 4n + 2 = (2n + 1)2 – (2n)2 + 12.

 

Ogni intero si può rappresentare come somma o differenza di esattamente 3 quadrati distinti e non nulli:

  • per gli interi della forma 4n + 2 e maggiori di 2 si può usare la rappresentazione mostrata sopra;

  • per 2 può usare la rappresentazione 62 – 52 – 32;

  • per gli interi della forma 4n + 1 e maggiori di 9 si può usare la rappresentazione n = (2n – 1)2 – (2n – 2)2 + 22;

  • per 1 può usare la rappresentazione 72 + 42 – 82;

  • per 5 può usare la rappresentazione 52 – 42 – 22;

  • per 9 può usare la rappresentazione 72 – 62 – 22;

  • per gli interi della forma 4n + 3 e maggiori di 3 si può usare la rappresentazione n = (2n)2 – (2n – 1)2 + 22;

  • per 3 può usare la rappresentazione 42 – 32 – 22;

  • per gli interi della forma 4n con n maggiore di 0 si rappresenta n come n = a2 ± b2 ± c2, quindi 4n = (2a)2 ± (2b)2 ± (2c)2;

  • per 0 può usare la rappresentazione 52 – 42 – 32;

  • per gli interi negativi –n si rappresenta n e si invertono i segni.

 

Ogni intero si può esprimere in infiniti modi come x2ny2, per ogni n maggiore di 1 che non sia un quadrato.

 

Nel 2009 Florian Luca dimostrò che i numeri minori di n esprimibili come differenza di due quadrati di primi sono meno di c * n / log(n), per una costante c.

Bibliografia

  • Arkin, Joseph;  Hoggatt, Verner E. Jr.;  Straus, E.G.;  "On Euler’s Solution of a Problem of Diophantus" in Fibonacci Quarterly, n. 17, pag. 333 – 339, 1979.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
  • Dudeney, Henry Ernest;  Amusement in Mathematics, Thomas Nelson & Sons, 1917 -

    il testo è ormai introvabile, ma fortunatamente ne esiste un’edizione più recente, Dover, New York, 1958, ristampato nel 1970.

  • Dujella, A.;  "There are only finitely many Diophantine quintuples" in Journal für die reine und angewandte Mathematik, n. 566, pag. 183 – 214, 2004.
  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of America, 2003 -

    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

  • Klamkin, Murray S.;  USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, Washington, The Mathematical Association of America, 1988 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Una storia di numeri quadrati" in Le Scienze, n. 462, Febbraio 2007, pag. 103.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.