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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di quadrati
  3. 3. Insiemi che producono quadrati tramite addizioni e moltiplicazioni
  4. 4. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati
  5. 5. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati e altri addendi
  6. 6. Rappresentazione degli interi come differenza di quadrati
  7. 7. Proprietà basate sulle cifre

Nel 2015 Zhi-Wei Sun propose le congetture che ogni numero naturale sia rappresentabile come:

  • Somma di x^2 + y^2 + z^2 più i tre massimi interi non superiori a α * x, α * y e α * z, con x, y e z interi anche negativi, per ogni α reale fissato diverso da 1 e tale che 0 < α ≤ 1.5;

  • Somma di x^2 + y^2 + z^2 più i tre massimi interi non superiori a α * x, β * y e α * z, per ogni combinazione di α, β e γ reali, maggiori di zero, non maggiori di 1.5 e tali che non ve ne siano due uguali a 1 e non ve ne siano due uguali a 1 / n per n intero, con x, y e z interi anche negativi e in particolare quindi come Somma di x^2 + y^2 + z^2 più i tre massimi interi non superiori a x / a, y / b e z / c, con a, b e c interi fissati maggiori di zero e diversi tra loro.

     

 

Nel 2015 Zhi-Wei Sun dimostrò che ogni numero naturale può essere espresso come:

  • x2 + 2y2 + z(z + 3);

  • x^2 + a * y^2 + z * (z + 3) / 2, per a = 1, 2 o 3;

  • x^2 + 2 * y^2 + z * (z + 5) / 2;

  • x^2 + 2 * y^2 + z * (3 * z + 1) / 2;

  • x^2 + 2 * y^2 + z * (3 * z + 5) / 2;

  • Somma di x^2 + y^2 + z^2 più il massimo intero non superiore a a * (x + y + z) / 2, per a dispari e maggiore di zero;

  • Somma di x^2 + y^2 + z^2 più il massimo intero non superiore a a * (x + y + z) / 3, per a non multiplo di 3 e maggiore di zero;

  • Somma di x^2 + y^2 più il massimo intero non superiore a z * (z + 1) / a, per a = 3, 4 o 6.

Zhi-Wei Sun dimostrò anche che le prime cinque espressioni sono le uniche della forma a * x^2 + b * y^2 + z * (z – 1) / 2 + c * z capaci di rappresentare tutti i numeri naturali.

Le ultime due formule non possono essere generalizzate in modo semplice a denominatori differenti, perché lo stesso matematico cinese notò che 111 non è rappresentabile come Somma di x^2 + y^2 + z^2 più il massimo intero non superiore a a * (x + y + z) / 19, per m = 19 e 20.

 

Se al posto dei quadrati si usano altri polinomi di secondo grado, possono bastare tre addendi per rappresentare qualsiasi intero positivo (per esempio, nel caso dei numeri triangolari); può anche bastare che uno solo degli addendi non sia un semplice quadrato:

  • Matijasevic dimostrò nel 1971 che ogni intero positivo si può esprimere come a2 + b2 + c2 + c + 1;

  • Eulero dimostrò che ogni intero positivo si può esprimere come somma di due quadrati e un numero triangolare;

  • nel 2009 B.K. Oh e Zhi-Wei Sun dimostrarono che ogni intero positivo si può esprimere come somma di un quadrato, un quadrato dispari e un numero triangolare.

Zhi-Wei Sun dimostrò nel 2015 che ogni intero positivo si può esprimere come:

  • Tx + Ty + z(z + 2);

  • T(x) + T(y) + z * (z + 2 * a + 1) / 2, per a = 1, 2, 3 o 4;

  • T(x) + 2 * T(y) + z * (z + 2 * a + 1) / 2, per a = 1, 2 o 3;

  • Tx + y2 + z(z + 2a), per a = 1, 2 o 3;

  • T(x) + (2 * y)^2 + z * (z + 3) / 2;

  • T(x) + y^2 + z * (z + 2 * a + 1) / 2, per a = 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7;

  • x(ax + b) + y(ay + c) + z(az + d), se e solo se { a, b, c, d } sono { 3, 0, 1, 2 }, { 3, 1, 1, 2 }, { 3, 1, 2, 2 }, { 3, 1, 2, 3 } o { 4, 1, 2, 3 };

  • x(ax + 1) + y(by + 1) + z(cz + 1), solo se { a, b, c } sono { 1, 1, 2 }, { 1, 2, 2 }, { 1, 2, 3 }, { 1, 2, 4 }, { 1, 2, 5 }, { 2, 2, 2 }, { 2, 2, 3 }, { 2, 2, 4 }, { 2, 2, 5 }, { 2, 2, 6 }, { 2, 3, 3 }, { 2, 3, 4 }, { 2, 3, 5 }, { 2, 3, 7 }, { 2, 3, 8 }, { 2, 3, 9 } o { 2, 3, 10 }; non è però stato dimostrato che con tutte queste combinazioni permettano di rappresentare tutti gli interi positivi.

 

Altri risultati relativi alla possibilità di rappresentare gli interi come somma di quadrati e numeri triangolari si trovano alla voce numeri triangolari.

 

Risultati simili sono stati dimostrati per altri numeri ottenibili da altri polinomi; in particolare ogni intero maggiore di a^2 * (a + 1) / 2 può essere espresso come somma di interi distinti della forma an2a + 1.

 

R.C. Crocker dimostrò (Colloq. Mat., n. 112, 2008) che, fissato un intero k, esistono infiniti interi positivi non rappresentabili come somma di due quadrati e una o due potenze di k.

 

Nel 1752, in una lettera a Eulero, Goldbach suppose che ogni intero dispari si possa esprimere come somma di un primo e del doppio di un quadrato (eventualmente nullo). Eulero verificò l’affermazione sino a 2500, non riuscendo a provarla, né smentirla. Solo nel 1856 M.A. Stern e i suoi studenti trovarono i due controesempi 5777 e 5993, a tutt’oggi ancora le uniche eccezioni note.

A quei tempi si considerava 1 come primo, quindi Goldbach non sentì il bisogno di escludere 1 dai numeri rappresentabili, come facciamo oggi.

Se non ammettiamo i quadrati nulli, sono note solo altre 7 eccezioni: 3, 17, 137, 227, 977, 1187 e 1493 (v. numeri di Stern).

 

I numeri non esprimibili come somma di un quadrato e un primo (eventualmente nullo) sono probabilmente in numero finito; quelli noti sono: 2, 5, 10, 13, 31, 34, 37, 58, 61, 85, 91, 127, 130, 214, 226, 370, 379, 439, 526, 571, 706, 730, 771, 829, 991, 1255, 1351, 1414, 1549, 1906, 2986, 3319, 3676, 7549, 9634, 21679 (v. congettura H di Hardy e Littlewood).

 

Eulero avanzò la congettura che ogni numero naturale della forma 8k + 3 sia rappresentabile come somma di un quadrato e del doppio di un primo.


Nel 1960 Y.V. Linnik dimostrò che ogni numero naturale si può esprimere come somma di un primo e due quadrati.

 

Nel 2015 Zhi-Wei Sun propose la congettura che ogni numero naturale sia rappresentabile come (v. congetture di Zhi-Wei Sun sulla rappresentazione dei numeri naturali come somme):

  • x^2 +y^2 + p * (p ± 1) / 2 con p primo;

  • x2 + y2 + φ(z2), con z o il massimo tra x e y primo;

  • somma di un numero triangolare, un quadrato e un cubo.

  • somma di un quadrato, un cubo, un biquadrato e il doppio di un altro, ossia come x2 + y2 + z4 + 2w4.

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

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    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

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    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

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    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

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    Una miniera di informazioni sugli interi.

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