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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di quadrati
  3. 3. Insiemi che producono quadrati tramite addizioni e moltiplicazioni
  4. 4. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati
  5. 5. Rappresentazione degli interi come differenza di quadrati
  6. 6. Proprietà basate sulle cifre

Le differenze di quadrati pongono problemi relativamente più facili rispetto alle somme.

 

Tutti e soli i numeri naturali della forma 4n + 2 non si possono esprimere come differenza di due quadrati; infatti:

  • un intero della forma n = 22m(2k + 1) con k > 0 può essere espresso come n = (2m(k + 1))2 – (2mk)2;

  • un intero della forma n = 22m + 1(2k + 1) con k > 0 e m > 0 può essere espresso come n = (2m – 1(2k + 3))2 – (2m – 1(2k – 1))2;

  • un intero della forma n = 22m + 1 con m > 0 può essere espresso come n = (3 • 2m – 1)2 – (2m – 1)2;

  • un intero della forma n = 22m con m > 0 può essere espresso come n = (22m – 2 + 1)2 – (22m – 2 – 1)2.

Ogni numero naturale si può rappresentare come somma o differenza di al massimo 3 quadrati, dato che per i numeri per i quali non bastano 2 quadrati si può utilizzare l’identità 4n + 2 = (2n + 1)2 – (2n)2 + 12.

 

Ogni intero si può rappresentare come somma o differenza di esattamente 3 quadrati distinti e non nulli:

  • per gli interi della forma 4n + 2 e maggiori di 2 si può usare la rappresentazione mostrata sopra;

  • per 2 può usare la rappresentazione 62 – 52 – 32;

  • per gli interi della forma 4n + 1 e maggiori di 9 si può usare la rappresentazione n = (2n – 1)2 – (2n – 2)2 + 22;

  • per 1 può usare la rappresentazione 72 + 42 – 82;

  • per 5 può usare la rappresentazione 52 – 42 – 22;

  • per 9 può usare la rappresentazione 72 – 62 – 22;

  • per gli interi della forma 4n + 3 e maggiori di 3 si può usare la rappresentazione n = (2n)2 – (2n – 1)2 + 22;

  • per 3 può usare la rappresentazione 42 – 32 – 22;

  • per gli interi della forma 4n con n maggiore di 0 si rappresenta n come n = a2 ± b2 ± c2, quindi 4n = (2a)2 ± (2b)2 ± (2c)2;

  • per 0 può usare la rappresentazione 52 – 42 – 32;

  • per gli interi negativi –n si rappresenta n e si invertono i segni.

 

Ogni intero si può esprimere in infiniti modi come x2ny2, per ogni n maggiore di 1 che non sia un quadrato.

 

Nel 2009 Florian Luca dimostrò che i numeri minori di n esprimibili come differenza di due quadrati di primi sono meno di c * n / log(n), per una costante c.

Bibliografia

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

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    il testo è ormai introvabile, ma fortunatamente ne esiste un’edizione più recente, Dover, New York, 1958, ristampato nel 1970.

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    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
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    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

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    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Una storia di numeri quadrati" in Le Scienze, n. 462, Febbraio 2007, pag. 103.
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    Una miniera di informazioni sugli interi.

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