Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di quadrati
  3. 3. Insiemi che producono quadrati tramite addizioni e moltiplicazioni
  4. 4. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati
  5. 5. Rappresentazione di potenze come somma di quadrati consecutivi
  6. 6. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati e altri addendi
  7. 7. Rappresentazione degli interi come differenza di quadrati
  8. 8. Proprietà basate sulle cifre

Per quanto riguarda le somme di k quadrati consecutivi uguali a un quadrato, Laurent Beekmans dimostrò nel 1994 che se k non è a sua volta un quadrato, le soluzioni sono infinite, ma solo per alcuni valori di k, che devono soddisfare certe condizioni; espresso k come a2b, con b non multiplo di un quadrato maggiore di 1:

  • se k è multiplo di 2, la massima potenza di 2 che divide k deve avere un esponente dispari;

  • se k è multiplo di 3, la massima potenza di 3 che divide k deve avere un esponente dispari;

  • se k + 1 è multiplo di 3, la massima potenza di 3 che divide k +1 deve avere un esponente dispari, quindi se k + 1 è multiplo di 3, (k + 1) / 3 deve essere la somma di due quadrati;

  • se la massima potenza di un primo p maggiore di 3 che divide k ha esponente dispari, p ha la forma 12c ± 1, quindi tutti i fattori primi di b devono essere 2, 3 o avere la forma 12c ± 1

  • la massima potenza di un primo p maggiore di 3 della forma 4c + 3 che divide k + 1 ha esponente pari, quindi se k + 1 non è multiplo di 3, k + 1 deve essere la somma di due quadrati;

  • k non ha la forma 9c + 3, quindi se b è multiplo di 3, deve avere la forma 9c + 6;

  • per c > 1, k diviso 2c + 2 non dà resto 2c o 2c – 1.

 

Queste condizioni sono necessarie, ma non sufficienti; i valori di k fino a 105 che le soddisfano, ma per i quali non esistono soluzioni sono: 25, 842, 2306, 2402, 2459, 3602, 3650, 3803, 6081, 6242, 6338, 6779, 7058, 7319, 7643, 8088, 8354, 8363, 8402, 8543, 8761, 9122, 10607, 10826, 11257, 11378, 11447, 12203, 12458, 12722, 12984, 13273, 13682, 14162, 14424, 14639, 14738, 15362, 15626, 15698, 16475, 16634, 16658, 16753, 17257, 17737, 17858, 18587, 18986, 19202, 19223, 19442, 19883, 20137, 20507, 21073, 21179, 21314, 21611, 21912, 22633, 22921, 22936, 23138, 23377, 23378, 23447, 23819, 24482, 24554, 24601, 24952, 25225, 25944, 25967, 26377, 27193, 27458, 27479, 27842, 28298, 28562, 28607, 29039, 29243, 30242, 30273, 30553, 30575, 30578, 30650, 31307, 32939, 33722, 34043, 34802, 35128, 35807, 35858, 35963, 35977, 36073, 36578, 36719, 36731, 36832, 36866, 37993, 38027, 38498, 38761, 38857, 38954, 39419, 39793, 40009, 40667, 41018, 41042, 41449, 41617, 41618, 42026, 42683, 42962, 43017, 43202, 43319, 43403, 43682, 43787, 44025, 44088, 44097, 44258, 44952, 45218, 45419, 46463, 46559, 46946, 47049, 47087, 47714, 47786, 47819, 48121, 48408, 48479, 48568, 48746, 49033, 49297, 49367, 49682, 49753, 50114, 50937, 51383, 52056, 52225, 52283, 52753, 52907, 53017, 53114, 53401, 54191, 54232, 54729, 54743, 54744, 54959, 55058, 55163, 55561, 55787, 55833, 55977, 56162, 56857, 57241, 58802, 58874, 58907, 59001, 59978, 60482, 61058, 61259, 61367, 62137, 62569, 62687, 62786, 62903, 63578, 63697, 64081, 64178, 64298, 64489, 64608, 64850, 65003, 66578, 67007, 67154, 67384, 68937, 69227, 69697, 70177, 70178, 70682, 70898, 71313, 71663, 72146, 72362, 72481, 72553, 72888, 73211, 73418, 73442, 74666, 74713, 74882, 74978, 75119, 75359, 76439, 76561, 77018, 77303, 77339, 78025, 78873, 78962, 79346, 79538, 81218, 81275, 81554, 81688, 82139, 82379, 82968, 83473, 83569, 83697, 84002, 84143, 84407, 84794, 84866, 84914, 85019, 85514, 85847, 86075, 86424, 87050, 87217, 87563, 87602, 87832, 87938, 88187, 88427, 88898, 89003, 89399, 89402, 90263, 90889, 91177, 92426, 93362, 93817, 94048, 94154, 94321, 94763, 95471, 95483, 95953, 97346, 97368, 97449, 97513, 98327, 98507, 98712, 98843, 98954, 99002, 99817 (Christopher E. Thompson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

L’unica somma di quadrati consecutivi a partire da 1 uguale a un quadrato è Somma dei quadrati degli interi da 1 a 24 uguale al quadrato di 70, corrispondente all’unico numero piramidale (I) che sia un quadrato.

 

Se k = 12a2 + 1 vi sono soluzioni, quindi l’insieme dei valori di k diversi da un quadrato per i quali esistono soluzioni è infinito.

 

Per k diverso da un quadrato tutte le soluzioni dell’equazione Somma dei quadrati di k interi consecutivi uguale a un quadrato si ottengono da formule parametriche corrispondenti alle soluzioni di un’equazione di Fermat – Pell, come quelle mostrate nella tabella seguente, per k fino a 24, valide per s intero non negativo.

k

n

m

2

Formula per la somma di 2 quadrati consecutivi uguale a un quadrato

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 2 quadrati consecutivi

11

Formula per la somma di 11 quadrati consecutivi uguale a un quadrato,

Formula per la somma di 11 quadrati consecutivi uguale a un quadrato

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 11 quadrati consecutivi,

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 11 quadrati consecutivi

23

Formula per la somma di 23 quadrati consecutivi uguale a un quadrato,

Formula per la somma di 23 quadrati consecutivi uguale a un quadrato

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 23 quadrati consecutivi,

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 23 quadrati consecutivi

24

Formula per la somma di 24 quadrati consecutivi uguale a un quadrato,

Formula per la somma di 24 quadrati consecutivi uguale a un quadrato,

Formula per la somma di 24 quadrati consecutivi uguale a un quadrato,

Formula per la somma di 24 quadrati consecutivi uguale a un quadrato,

Formula per la somma di 24 quadrati consecutivi uguale a un quadrato,

Formula per la somma di 24 quadrati consecutivi uguale a un quadrato

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 24 quadrati consecutivi,

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 24 quadrati consecutivi,

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 24 quadrati consecutivi,

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 24 quadrati consecutivi,

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 24 quadrati consecutivi,

Formula per la base di un quadrato uguale alla somma di 24 quadrati consecutivi

 

Se k è un quadrato, esistono soluzioni se e solo se k è maggiore di 25 e ha la forma 6c ± 1, ovvero 24r + 1, dove r è un numero pentagonale generalizzato maggiore di 1. Per questi valori di k esiste sempre almeno una soluzione, perché la somma dei k2 quadrati a partire dal quadrato di Prima base di una sequenza di k^2 quadrato consecutivi la cui somma è uguale a un quadrato è Quadrato uguale alla somma di k^2 quadrato consecutivi, ma le soluzioni sono in numero finito (Thomas Andrews, 2011).

 

Nel 2018 Vladimir Pletser dimostrò che non esistono soluzioni se k ≡ 3, 5, 6, 7, 8 o 10 mod 12 e che possono esistere solo se k ≡ 0, 9, 24 o 33 mod 72 o k ≡ 1, 2 o 16 mod 24 o k ≡ 11 mod 12, con ciò confermando la congettura avanzata da Ralf Stephan, sulla base delle soluzioni con k fino a 1391, che in tutte le soluzioni k ≡ 0, 1, 2, 9, 11, 16, o 23 mod 24.

 

L’insieme dei valori di k per i quali esistono soluzioni ha densità asintotica nulla (M. Laub, 1990).

 

I valori di k fino a 1000 per i quali esistono soluzioni sono: 1, 2, 11, 23, 24, 26, 33, 47, 49, 50, 59, 73, 74, 88, 96, 97, 107, 121, 122, 146, 169, 177, 184, 191, 193, 194, 218, 239, 241, 242, 249, 289, 297, 299, 311, 312, 313, 337, 338, 347, 352, 361, 362, 376, 383, 393, 407, 409, 431, 443, 457, 458, 479, 481, 491, 506, 529, 537, 539, 554, 568, 577, 578, 587, 599, 600, 625, 649, 673, 674, 698, 722, 753, 767, 793, 794, 841, 856, 863, 864, 866, 887, 897, 913, 914, 961, 971, 983.

Qui trovate i valori di k fino a 105 per i quali esistono soluzioni (Christopher E. Thompson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La tabella seguente riporta tutte le somme di quadrati consecutivi fino a 106 uguali a quadrati.

Primo quadrato

Ultimo quadrato

Somma

12

242

4900 = 702

32

42

25 = 52

32

5802

65205625 = 80752

32

9632

298149289 = 172672

72

292

8464 = 922

72

392

20449 = 1432

72

562

60025 = 2452

72

1902

2304324 = 15182

92

322

11236 = 1062

132

1082

425104 = 6522

152

1112

461041 = 6792

152

3262

11600836 = 34062

172

392

19044 = 1382

182

282

5929 = 772

202

212

841 = 292

202

432

24964 = 1582

202

3082

9784384 = 31282

212

1162

524176 = 7242

222

802

170569 = 4132

252

482

33124 = 1822

252

502

38025 = 1952

252

732

127449 = 3572

252

5782

64529089 = 80332

252

6242

81180100 = 90102

272

592

64009 = 2532

272

3642

16136289 = 40172

282

772

148225 = 3852

282

1232

620944 = 7882

302

1982

2598544 = 16122

322

6092

75463969 = 86872

382

482

20449 = 1432

382

962

281961 = 5312

382

3492

14212900 = 37702

382

6862

107827456 = 103842

442

672

75076 = 2742

442

932

245025 = 4952

502

1712

1640961 = 12812

522

1472

1024144 = 10122

522

3892

19651489 = 44332

602

922

193600 = 4402

642

3052

9418761 = 30692

652

2822

7425625 = 27252

652

9282

266734224 = 163322

672

1162

429025 = 6552

732

1942

2325625 = 15252

762

992

184900 = 4302

832

2762

6859161 = 26192

872

1362

632025 = 7952

912

3322

12006225 = 34652

1042

9672

301508496 = 173642

1062

4022

21344400 = 46202

1122

3052

9042049 = 30072

1172

7892

163507369 = 127872

1192

1202

28561 = 1692

1212

1442

422500 = 6502

1242

1732

1113025 = 10552

1312

8522

205779025 = 143452

1322

4302

25836889 = 50832

1372

2322

3341584 = 18282

1402

4282

25321024 = 50322

1682

2172

1863225 = 13652

1682

4662

32273761 = 56812

1702

4662

32216976 = 56762

1722

7102

117874449 = 108572

1752

5122

43099225 = 65652

1782

3612

13883076 = 37262

1812

2132

1283689 = 11332

1832

5892

66259600 = 81402

1922

2792

4937284 = 22222

1932

2882

5626384 = 23722

1972

2202

1044484 = 10222

1972

9492

282811489 = 168172

1992

4872

36012001 = 60012

2042

9252

261436561 = 161692

2102

5852

63840100 = 79902

2142

7522

138791961 = 117812

2162

3112

6739216 = 25962

2162

5532

53187849 = 72932

2252

2982

5094049 = 22572

2252

3122

6400900 = 25302

2252

6312

80174116 = 89542

2272

2592

1951609 = 13972

2442

3642

11329956 = 33662

2482

3432

8456464 = 29082

2532

8062

169494361 = 130192

2552

7832

154828249 = 124432

2552

9762

304886521 = 174612

2582

9062

242611776 = 155762

2802

6312

76667536 = 87562

2872

3362

4862025 = 22052

2872

5752

55696369 = 74632

2942

3672

8116801 = 28492

3012

3262

2556801 = 15992

3012

9252

255200625 = 159752

3022

8552

199572129 = 141272

3042

3272

2390116 = 15462

3042

6552

84566416 = 91962

3092

8372

186022321 = 136392

3532

3762

3189796 = 17862

3582

7182

108409744 = 104122

3792

4282

8151025 = 28552

3952

9722

286117225 = 169152

4332

7212

98227921 = 99112

4422

5142

16711744 = 40882

4542

4792

5659641 = 23792

4562

4662

2337841 = 15292

5012

7182

81848209 = 90472

5102

6782

60031504 = 77482

5122

5612

14402025 = 37952

5392

5852

14853316 = 38542

5402

5632

7300804 = 27022

5532

7292

73188025 = 85552

5562

8042

116424100 = 107902

5812

6762

37994896 = 61642

5902

8072

107226025 = 103552

5902

8862

163942416 = 128042

6122

6442

13017664 = 36082

6282

6772

21298225 = 46152

6572

7522

47720464 = 69082

6962

6972

970225 = 9852

7242

8192

57214096 = 75642

7312

7772

26728900 = 51702

8432

8922

37638225 = 61352

8542

8642

8116801 = 28492

8562

8792

18062500 = 42502

8812

9032

18301284 = 42782

 

La tabella seguente riporta tutte le somme di quadrati consecutivi fino a 1012 uguali a cubi e biquadrati (M. Fiorentini, 2019).

Primo quadrato

Ultimo quadrato

Somma

222

682

103823 = 473

902

1152

274625 = 653

2612

40672

22425768000 = 28203

9892

31492

10091699281 = 21613

21152

22762

781229961 = 9213

173542

229302

2277044900416 = 131563

230172

260872

1853614522304 = 122843

240792

896002

235125028708361 = 617213

249782

309712

4708686519081 = 167613

454502

1448082

980893000925279 = 993593

529112

9957512

329053482838576341 = 6903813

647912

1016322

259266910222125 = 637653

772892

2151302

3164933091345661 = 1468213

838682

942352

82312875000000 = 435003

847552

2336312

4047882458821811 = 1593713

1250902

1254822

6168761704000 = 183403

1894322

1972332

291658484677013 = 663173

2398062

2644542

1568173521032000 = 1161803

2480582

2523642

269648738245125 = 646053

2503542

4207212

19593033022705472 = 2695883

2547862

4108842

17609483239992125 = 2601653

2796082

3011382

1816249897646729 = 1220093

9272082

9621982

31231769524613559 = 3149193

1192

1202

28561 = 134

25842

41192

17555190016 = 3644

56282

59792

11859210000 = 3304

64532

66292

7573350625 = 2954

228152

252152

1385858700625 = 10854

1028552

1437522

627503752500625 = 50054

1301892

1908132

1580302996650625 = 63054

4631162

6488762

57958759778017536 = 155164

 

Non si conoscono somme di quadrati consecutivi uguali a una potenza con esponente maggiore di 4; se esistono, almeno un addendo è maggiore di 1012 (M. Fiorentini, 2019).

 

M.J. Jacobson, Á Pintér e P.G. Walsh dimostrarono nel 2003 che l’equazione Somma di dei quadrati degli interi da 1 a n uguale a una potenza ha come unica soluzione non banale Somma dei quadrati degli interi da 1 a 24 uguale al quadrato di 70, corrispondente all’unico numero piramidale (I) che sia un quadrato, per m pari fino a 58.

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    il testo è ormai introvabile, ma fortunatamente ne esiste un’edizione più recente, Dover, New York, 1958, ristampato nel 1970.

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    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

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