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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di quadrati
  3. 3. Insiemi che producono quadrati tramite addizioni e moltiplicazioni
  4. 4. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati
  5. 5. Rappresentazione degli interi come differenza di quadrati
  6. 6. Proprietà basate sulle cifre

Sono state compiute estese ricerche sulla possibilità di rappresentare gli interi positivi come somma di quadrati e sul numero di modi per farlo. Elenco solo i risultati principali.

 

Una somma di due quadrati primi tra loro è il prodotto di fattori primi della forma 4k + 1 o il doppio di un prodotto del genere. Di conseguenza un intero si può esprimere come somma di due quadrati se e solo se nella sua scomposizione in fattori primi tutti i primi della forma 4k + 3 hanno esponente pari (Eulero, 1738); in tal caso questi fattori, con esponenti dimezzati, dividono le basi dei due quadrati.

La dimostrazione si basa sull’identità “dei due quadrati”: (a2 + b2)(c2 + d2) = (acbd)2 (bc + ad)2 = (ac + bd)2(bcad)2, che dimostra che il prodotto di due interi esprimibili come somme di due quadrati è a sua volta esprimibile come somma di due quadrati e in almeno due modi diversi. La dimostrazione è comunemente attribuita a Fibonacci (Libro dei Quadrati, 1225), ma era nota all’arabo al Khazin nel 950 e probabilmente anche a Diofanto (200 circa d.C.), a giudicare dalla soluzione al problema 19 del Terzo libro dell’aritmetica.

 

Se B(n) è il numero di interi non superiori a n esprimibili come somma di 2 quadrati (anche nulli), Limite asintotico per il numero di interi non superiori a n esprimibili come somma di 2 quadrati, dove K è la costante di Landau – Ramanujan (Edmund Georg Hermann Landau, 1908).

Gli interi inferiori a 100 esprimibili come somma di 2 quadrati sono: 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98.

 

Per quadrati uguali alla somma di due o più quadrati v. anche numeri poligonali e numeri pitagorici (I).

 

Nel 1808 Legendre notò in Théorie des Nombres che non può esistere una corrispondente identità dei tre quadrati: infatti, sia 3 = 12 + 12 + 12, sia 21 = 42 + 22 + 12 sono somme di 3 quadrati, ma 63 = 3 • 21 e non lo è.

 

Possono essere rappresentati come somma di 3 quadrati anche nulli gli interi non della forma 4k(8n + 7) (Fermat 1636), e quindi i 5 / 6 degli interi (Gauss).

Gli interi non esprimibili come somma di 3 quadrati possono però essere espressi come xy + xz + yz, con x, y e z interi, oltre che come somma di tre numeri triangolari, come tutti i numeri naturali.

 

Ogni intero della forma 8n + 3 può essere espresso come somma di al massimo 3 quadrati dispari (Legendre), di conseguenza, sommando eventualmente 7 volte 1, ogni intero può essere espresso come somma di al massimo 10 quadrati dispari (Pollock, 1851).

 

Il problema di determinare quali interi possano essere rappresentati come somma di 3 quadrati non nulli è più complesso; alcuni risultati interessanti:

  • n2 può essere rappresentato, se e solo se n non è una potenza di 2 o 5 volte una potenza di 2.

  • se n ≡ 0 mod 8 o n ≡ 4 mod 8, n può essere rappresentato in un unico modo se e solo se n / 4 è rappresentabile in un unico modo;

  • se n ≡ 3 mod 8, n può essere rappresentato come somma di 3 quadrati in un unico modo se è 3, 11, 19, 35, 43, 67, 91, 115, 163, 235, 403, 427 (P.T. Bateman e E. Grosswald, 1984); la rappresentazione resta unica anche ammettendo quadrati nulli;

  • se n ≡ 1, 2, 5, 6 mod 8, n può essere rappresentato come somma di 3 quadrati in un unico modo se è 1, 2, 5, 6, 10, 13, 14, 21, 22, 30, 37, 42, 46, 58, 70, 78, 93, 133, 142, 190, 253, oppure se è maggiore di 1000000, non è multiplo di quadrati e il numero di classe del campo Numero di classe del campo è 4 (P.T. Bateman e E. Grosswald, 1984); la rappresentazione resta unica anche ammettendo quadrati nulli;

  • se n ≡ 7 mod 8, n non può essere rappresentato come somma di 3 quadrati;

  • per ogni intero n, tranne 1, 2, 3, 4, 5, 9, 14, 17, 18, 20, 21, 35 e 41, esiste un intero m, multiplo di 4 e non superiore a n, tale che Coefficiente binomiale C(n, m) non è rappresentabile come somma di 3 quadrati (A. Granville e Y. Zhu, 1990).

 

Eulero dimostrò nel 1748 l’identità dei 4 quadrati: Identità dei 4 quadrati, a partire dalla quale si dimostra che ogni intero positivo può essere espresso come somma di al massimo 4 quadrati, come già aveva supposto Bachet (1621) e come dimostrarono anche Fermat e Legendre (1770).

 

Per rappresentare tutti gli interi tramite somme bisogna utilizzare in generale 4 quadrati, però si può ottenere qualcosa di più: Cauchy dimostrò che dati due interi positivi m e n, tali che m2 < 4n e 3n < m2 +2m + 4, esistono 4 interi positivi x, y, w e z tali che n2 = x2 + y2 + w2 + z2 e m = x + y + w + z.

 

W. Gosper suppose che ogni intero esprimibile come somma di 4 quadrati dispari si possa anche esprimere come somma di 4 quadrati pari e viceversa; M. Hirschhorn dimostrò la congettura, trovando l’identità (4a + 1)2 + (4b + 1)2 + (4c + 1)2 + (4d + 1)2 = (2(a + b + c + d + 1))2 + (2(abc + d))2 + (2(ab + cd))2 + (2(a + bcd))2, nella quale a, b, c e d sono interi, anche negativi.

 

Nel 1818 Ferdinand Degen dimostrò l’identità degli 8 quadrati, riscoperta indipendentemente da John Tomas Graves nel 1843 e Arthur Cayley nel 1845: Identità degli 8 quadrati.

 

Nel 1923 Hurwitz dimostrò che identità del genere sono possibili solo con 1, 2, 4 o 8 quadrati.

 

M.B. Nathanson dimostrò nel 1975 che non sono possibili identità del genere con 3 cubi e che per ogni potenza con esponente pari ve ne sono in numero finito.

 

Teoremi analoghi sono stati dimostrati anche per i polinomi: D. Hilbert dimostrò nel 1888 che i polinomi razionali positivi in due variabili di grado non superiore a 4 o in una variabile di grado non superiore a 2 possono essere espressi come somma dei quadrati di 3 polinomi razionali (ossia quozienti di polinomi) e nel 1893 che esistono polinomi in due variabili di qualsiasi grado pari maggiore di 4 che non sono esprimibili come somma di quadrati di polinomi, ma che qualsiasi polinomio in due variabili non negativo è la somma dei quadrati di polinomi razionali. Nel 1906 Landau dimostrò che in questo caso bastano sempre 4 polinomi razionali.

E. Artin dimostrò nel 1927 che qualsiasi polinomio razionale non negativo in n variabili si può esprimere come somma dei quadrati di polinomi razionali e A. Pfister dimostrò che ne bastano 2n. Si ritiene che tale numero possa essere ridotto, forse a n + 2.

Nel 1971 J.W.S. Cassels, W.J. Ellison e A. Pfister, dimostrarono che il polinomio di Motzkin 1 + x2y4 + x4y2 – 3x2y2 non è la somma di 3 soli quadrati di polinomi e M.R. Christie dimostrò nel 1976 che questo vale per tutti i polinomi della forma Polinomio che non è la somma di 3 quadrati di polinomi, se n, m e l sono interi tali che n > m > 0, n = (–3)kl, l non è multiplo di 3, l ≡ –n mod 3, e né 3m(mn), né m2 + mn + n2 sono quadrati. In seguito sono state scoperte altre famiglie infinite di polinomi del genere, per qualsiasi grado pari superiore a 4.

 

I numeri naturali pari non rappresentabili come somma di 4 quadrati non nulli sono tutti e soli gli interi della forma 4kn, dove n è 2, 6 o 14.

I numeri naturali dispari non rappresentabili come somma di 4 quadrati non nulli sono: 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29 e 41.

I numeri naturali non rappresentabili come somma di 5 quadrati non nulli sono: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18 e 33.

Per n > 5, ogni numero naturale si può rappresentare come somma di n quadrati non nulli, tranne i numeri da 1 a n – 1, n + 1, n + 2, n + 4, n + 5, n + 7, n + 10 e n + 13.

 

Ogni intero può essere espresso come somma di quadrati differenti, tranne: 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112 e 128. Solo 124 = 72 + 62 + 52 + 32 + 22 + 12 e 188 = 102 + 72 + 52 + 32 + 22 + 12 richiedono 6 quadrati; per gli altri numeri ne bastano al massimo 5 (R.P. Sprague 1948); se maggiori di 412 e non multipli di 8 o maggiori di 157 e dispari, ne bastano 4 (Halter-Koch, 1982).

Halter-Koch dimostrò che ogni intero abbastanza grande può essere espresso come somma di un numero prefissato di quadrati distinti e non nulli. In particolare, ammettendo un quadrato nullo:

  • ogni intero può essere espresso come somma di esattamente 5 quadrati distinti, tranne i numeri da 0 a 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47, 48, 49, 52, 53, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 67, 68, 69, 72, 73, 76, 77, 80, 83, 89, 92, 96, 97, 101, 104, 108, 112, 124, 128, 136, 188 e 224;

  • ogni intero può essere espresso come somma di esattamente 6 quadrati distinti, tranne i numeri da 1 a 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 83, 84, 85, 86, 89, 92, 93, 96, 97, 98, 101, 102, 105, 107, 108, 109, 112, 113, 116, 117, 122, 125, 128, 133, 137, 140, 141, 149, 153, 161, 173, 177, 189 e 197;

  • ogni intero può essere espresso come somma di esattamente 7 quadrati distinti, tranne i numeri da 1 a 90, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 116, 117, 118, 120, 121, 122, 123, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 133, 134, 135, 137, 138, 141, 142, 144, 145, 148, 149, 150, 153, 157, 158, 161, 162, 165, 173, 174, 177, 183, 186, 189, 193, 197, 198, 213, 222, 228, 237, 249 e 261;

  • ogni intero può essere espresso come somma di esattamente 8 quadrati distinti, tranne i numeri da 1 a 139, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 169, 170, 171, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 180, 181, 182, 183, 184, 186, 187, 189, 190, 192, 193, 194, 197, 198, 199, 201, 202, 206, 207, 208, 209, 210, 213, 214, 216, 218, 222, 223, 226, 228, 229, 234, 237, 238, 241, 242, 250, 253, 258, 262, 266, 282, 286, 318 e 330.

 

Ogni intero può essere espresso come somma di quadrati di numeri primi diversi, tranne 2438 eccezioni, la massima delle quali è 17163, che trovate qui.

 

I numeri naturali non rappresentabili come somma di quadrati di numeri composti sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 114, 115, 118, 119, 121, 122, 123, 125, 126, 127, 130, 131, 134, 135, 137, 138, 139, 141, 142, 143, 146, 147, 150, 151, 154, 155, 157, 158, 159, 163, 166, 167, 170, 171, 173, 174, 175, 179, 182, 183, 186, 187, 190, 191, 195, 199, 202, 203, 206, 207, 211, 215, 218, 219, 222, 223, 227, 231, 235, 238, 239, 247, 251, 254, 255, 263, 267, 271, 283, 287, 299, 303, 319 e 335.

I numeri naturali non rappresentabili come somma di al massimo 5 quadrati di numeri composti sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 114, 115, 118, 119, 121, 122, 123, 125, 126, 127, 130, 131, 134, 135, 137, 138, 139, 141, 142, 143, 146, 147, 150, 151, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 163, 166, 167, 170, 171, 173, 174, 175, 179, 182, 183, 186, 187, 190, 191, 195, 199, 201, 202, 203, 206, 207, 211, 215, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 227, 231, 235, 237, 238, 239, 246, 247, 251, 254, 255, 263, 265, 266, 267, 271, 274, 282, 283, 285, 286, 287, 291, 299, 301, 302, 303, 310, 311, 318, 319, 327, 330, 331, 335, 339, 346, 347, 350, 351, 355, 363, 366, 367, 375, 382, 383, 391, 395, 399, 411, 415, 427, 431, 435, 446, 447, 463, 471, 479, 483, 491, 495, 507, 510, 511, 519, 526, 527, 543, 555, 559, 571, 575, 579, 591, 607, 615, 623, 627, 651, 663, 670, 671, 687, 699, 715, 723, 735, 751, 759, 771, 795, 807, 831, 843, 879, 939, 975, 1023, 1119, 1167.

 

I minimi interi che si possono esprimere come somma di due quadrati in due modi sono:

  • 25 = 52 + 02 = 32 + 42, se si ammette l’uso dello zero;

  • 65 = 82 + 12 = 72 + 42, se non si ammette l’uso dello zero;

  • 410 = 72 + 192 = 112 + 172, se si vogliono utilizzare solo quadrati di numeri primi.

 

Gli interi inferiori a 1000 rappresentabili come somma di due quadrati non nulli in esattamente due modi sono: 50, 65, 85, 125, 130, 145, 170, 185, 200, 205, 221, 250, 260, 265, 290, 305, 338, 340, 365, 370, 377, 410, 442, 445, 450, 481, 485, 493, 500, 505, 520, 530, 533, 545, 565, 578, 580, 585, 610, 625, 629, 680, 685, 689, 697, 730, 740, 745, 754, 765, 785, 793, 800, 820, 865, 884, 890, 901, 905, 949, 962, 965, 970, 985, 986, 1000.

Qui trovate gli interi inferiori a 10000 rappresentabili come somma di due quadrati non nulli in esattamente due modi (David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I minimi interi che si possono esprimere come somma di tre quadrati in due modi sono:

  • 18 = 42 + 12 + 12 = 32 + 32 + 02, se si ammette l’uso dello zero in uno solo dei modi;

  • 27 = 32 + 32 + 32 = 52 + 12 + 12, se si ammettono quadrati uguali, ma non nulli;

  • 62 = 62 + 52 + 12 = 72 + 32 + 22, se si vogliono utilizzare solo quadrati non nulli e distinti.

 

Il massimo primo rappresentabile come somma di 3 quadrati distinti in un solo modo è 397.

 

I primi interi rappresentabili come somma di tre quadrati non nulli in esattamente due modi sono: 27, 33, 38, 41, 51, 57, 59, 62, 69, 74, 75, 77, 83, 90, 94, 98, 102, 105, 107, 108, 113, 117, 118, 121, 122, 123, 125, 132, 137, 138, 139, 141, 147, 152, 154, 155, 158, 164, 165, 170, 177, 178, 181, 187, 195, 197, 203, 204, 210, 211, 213, 214, 217, 218, 226, 228, 229, 236 (David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

I primi interi rappresentabili come somma di tre quadrati non nulli in esattamente tre modi sono: 54, 66, 81, 86, 89, 99, 101, 110, 114, 126, 131, 149, 150, 162, 166, 173, 174, 179, 182, 185, 186, 216, 219, 221, 222, 225, 227, 233, 237, 241, 242, 245, 258, 264, 274, 275, 286, 291, 302, 305, 309, 315, 318, 323, 324, 334, 338, 344, 347, 349, 356, 361, 366, 377, 396 (David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

I primi interi rappresentabili come somma di tre quadrati non nulli in esattamente quattro modi sono: 129, 134, 146, 153, 161, 171, 189, 198, 201, 234, 243, 246, 249, 251, 254, 257, 261, 270, 278, 285, 290, 293, 294, 299, 339, 353, 362, 363, 365, 371, 378, 387, 390, 393, 395, 405, 406, 409, 411, 417, 429, 451, 454, 465, 467, 469, 473, 477, 485, 501, 502, 510, 514, 516 (David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I minimi interi che si possono esprimere come somma di quattro quadrati in due modi sono:

  • 4 = 22 + 02 + 02 + 02 = 12 + 12 + 12 + 12, se si ammette l’uso dello zero in uno solo dei modi;

  • 31 = 92 + 92 + 92 + 22 = 52 + 22 + 12 + 12, se si ammettono quadrati uguali, ma non nulli;

  • 78 = 82 + 32 + 22 + 12= 72 + 52 + 42 + 12, se si vogliono utilizzare solo quadrati non nulli e distinti.

 

I primi interi rappresentabili come somma di quattro quadrati non nulli in esattamente due modi sono: 31, 34, 36, 37, 39, 43, 45, 47, 49, 50, 54, 57, 61, 68, 69, 71, 74, 77, 81, 83, 86, 94, 107, 113, 116, 131, 136, 144, 149, 200, 216, 272, 296, 344, 376, 464, 544, 576, 800, 864, 1088, 1184, 1376, 1504, 1856, 2176, 2304, 3200, 3456, 4352, 4736, 5504, 6016, 7424 (David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

I primi interi rappresentabili come somma di quattro quadrati non nulli in esattamente tre modi sono: 28, 42, 55, 60, 66, 67, 73, 75, 78, 79, 85, 92, 95, 99, 109, 110, 112, 121, 125, 129, 134, 137, 161, 164, 168, 173, 179, 209, 240, 264, 312, 368, 440, 448, 536, 656, 672, 960, 1056, 1248, 1472, 1760, 1792, 2144, 2624, 2688, 3840, 4224, 4992, 5888, 7040, 7168 (David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

I primi interi rappresentabili come somma di quattro quadrati non nulli in esattamente quattro modi sono: 52, 58, 63, 70, 76, 84, 87, 91, 93, 97, 98, 105, 119, 123, 139, 140, 141, 142, 146, 155, 158, 185, 197, 206, 208, 221, 232, 233, 269, 280, 281, 304, 336, 392, 560, 568, 584, 632, 824, 832, 928, 1120, 1216, 1344, 1568, 2240, 2272, 2336, 2528, 3296, 3328, 3712, 4480 (David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di 2 o 3 quadrati non nulli è 17: 17 = 42 + 12 = 32 + 22 + 22. Basta aggiungere una o più unità per ottenere il minimo intero che possa essere espresso come somma di n o n + 1 quadrati non nulli per n > 2; per esempio, 18 = 42 + 12 + 12 = 32 + 22 + 22 + 12.

 

La tabella seguente riporta i minimi interi rappresentabili come somma di quadrati anche nulli in esattamente n modi e tra parentesi i minimi interi rappresentabili usando solo quadrati non nulli, se differenti.

n

Minimo intero

2

25 = 52 + 02 = 42 + 32 (50 = 72 + 12 = 52 + 52)

3

325 = 182 + 12 = 172 + 62 = 152 + 102

4

1105 = 332 + 42 = 322 + 92 = 312 + 122 = 242 + 232

5

4225 = 652 +02 = 632 + 162 = 602 + 252 = 562 + 332 = 522 + 392 (8125 = 902 + 52 = 862 + 272 = 852 + 302 = 752 + 502 = 692 + 582)

6

5525 = 742 + 72 = 732 + 142 = 712 + 222 = 702 + 252 = 622 + 412 = 502 + 552

7

203125 = 4502 + 252 = 4392 + 1022 = 4302 + 1352 = 4252 + 1502 = 3752 + 2502 = 3662 + 2632 = 3452 + 2902

8

27625 = 1652 + 202 = 1642 + 272 = 1602 + 452 = 1552 + 602 = 1442 + 832 = 1412 + 882 = 1322 + 1012 = 1202 + 1152

9

71825 = 2682 + 12 = 2652 + 402 = 2602 + 652 = 2572 + 762 = 2472 + 1042 = 2362 + 1272 = 2152 + 1602 = 2082 + 1692 = 1912 + 1882

10

138125 = 3712 + 222 = 3702 + 352 = 3652 + 702 = 3552 + 1102 = 3502 + 1252 = 3342 + 1632 = 3172 + 1942 = 3102 + 2052 = 3012 + 2182 = 2752 + 2502

12

160225 = 4002 + 152 = 3992 + 322 = 3932 + 762 = 3922 + 812 = 3842 + 1132 = 3752 + 1402 = 3602 + 1752 = 3562 + 1832 = 3372 + 2162 = 3292 + 2282 = 3112 + 2522 = 3002 + 2652

16

801125 = 8952 + 102 = 8902 + 952 = 8862 + 1272 = 8812 + 1582 = 8742 + 1932 = 8652 + 2302 = 8622 + 2412 = 8302 + 3352 = 8152 + 3702 = 7852 + 4302 = 7692 + 4582 = 7662 + 4632 = 7222 5292 = 7102 + 5452 = 7032 + 5542 = 6552 + 6102

 

La tabella seguente riporta i minimi interi rappresentabili come somma di due quadrati di primi in n modi.

n

Minimo intero

2

338 = 172 + 72 = 132 + 132

3

2210 = 432 + 192 = 412 + 232 = 372 + 292

4

10370 = 1012 + 132 = 972 + 312 = 832 + 592 = 732 + 712

5

202130 = 4492 + 232 = 4392 + 972 = 4192 + 1632 = 3972 + 2112 = 3732 + 2512

6

229970 = 4792 + 232 = 4672 + 1092 = 4392 + 1932 = 4012 + 2632 = 3972 + 2692 = 3472 + 3312

7

197210 = 4432 + 312 = 4392 + 672 = 4312 + 1072 = 4092 + 1732 = 3972 + 1992 = 3732 + 2412 = 3172 + 3112

8

81770 = 2832 + 412 = 2812 + 532 = 2772 + 712 = 2692 + 972 = 2512 + 1372 = 2392 + 1572 = 2232 + 1792 = 2112 + 1932

 

La tabella seguente riporta i minimi interi rappresentabili come somma di quadrati di primi in n modi.

n

Minimo intero

1

4 = 22

2

25 = 52 = 32 + 4 • 22

3

45 = 52 + 5 • 22 = 5 • 32 = 32 + 9 • 22

4

49 = 72 = 52 + 6 • 22 = 5 • 32 + 22 = 32 + 10 • 22

5

58 = 72 + 32 = 2 • 52 + 2 • 22 = 52 + 32 + 6 • 22 = 6 • 32 + 22 = 2 • 32 + 10 • 22

6

70 = 72 + 32 + 3 • 22 = 2 • 52 + 5 • 22 = 52 + 5 • 32 = 52 + 32 + 9 • 22 = 6 • 32 + 4 • 22 = 2 • 32 + 13 • 22

7

74 = 72 + 52 = 72 + 32 + 4 • 22 = 2 · 52 + 6 • 22 = 52 + 5 • 32 + 22 = 52 + 32 + 10 • 22 = 6 • 32 + 5 • 22 = 2 • 32 + 14 • 22

8

83 = 72 + 52 + 32 = 72 + 2 • 32 + 4 • 22 = 3 •52 + 2 • 22 = 2 • 52 + 32 + 6 • 22 = 52 + 6 • 32 + 22 = 52 + 2 • 32 + 10 • 22 = 7 • 32 + 5 • 22 = 3 • 32 + 14 • 22

9

90 = 72 + 52 + 4 • 22 = 72 + 32 + 8 • 22 = 2 • 52 + 4 • 32 + 22 = 2 • 52 + 10 • 22 = 52 + 5 • 32 + 4 • 22 = 52 + 32 + 14 • 22 = 10 • 32 = 6 • 32 + 9 • 22 = 2 • 32 + 18 • 22

10

94 = 72 + 52 + 5 • 22 = 72 + 5 • 32 = 72 + 32 + 9 • 22 = 2 • 52 + 4 • 32 + 2 • 22 = 2 • 52 + 11 • 22 = 52 + 5 • 32 + 5 • 22 = 52 + 32 + 15 • 22 = 10 • 32 + 22 = 6 • 32 + 10 • 22 = 2 • 32 + 19 • 22

11

98 = 2 • 72 = 72 + 52 + 6 • 22 = 72 + 5 • 32 + 22 = 72 + 32 + 10 • 22 = 2 • 52 + 4 • 32 + 3 • 22 = 2 • 52 + 12 • 22 = 52 + 5 • 32 + 6 • 22 = 52 + 32 + 16 • 22 = 10 • 32 + 2 • 22 = 6 • 32 + 11 • 22 = 2 • 32 + 20 • 22

 

Si può rappresentare un intero abbastanza grande come somma di un numero finito di quadrati di interi primi tra loro? Miakowski dimostrò che il prodotto di due primi della forma 24k + 7 non può essere la somma di meno di 10 quadrati primi tra loro. Non è noto se esistano interi che richiedano un numero maggiore di quadrati coprimi.

 

Un numero primo si può esprimere come somma di 2 quadrati (e in un solo modo) se e solo se è 2 o della forma 4n + 1, come asserì Fermat, anche se la prima dimostrazione si deve a Eulero, nel 1749.

Più in generale, se un numero primo si può esprimere come nx2 + my2 per qualche valore di n e m primi tra loro, è possibile farlo in un solo modo (Eulero). In particolare:

  • un numero primo si può esprimere come x2 + 2y2 se e solo se è 2 o della forma 8n + 1 o 8n + 3;

  • un numero primo si può esprimere come x2 + 3y2 se solo se è 3 o della forma 6n + 1;

  • un numero primo si può esprimere come x2 + 7y2 se e solo se è della forma 14n + 1, 14n + 9 o 14n + 11;

  • un numero primo si può esprimere come 2x2 + 3y2 se e solo se è della forma 24n + 5 o 24n + 11;

  • un numero primo della forma 8n + 1 si può esprimere come x2 – 2y2;

  • un numero primo della forma 3n + 1 si può esprimere come x2 + xy + y2;

  • il prodotto di due primi della forma 20n + 3 o 20n + 7 si può esprimere come x2 + 5y2.

L’unico numero primo noto che non possa essere espresso come 2x2 + 3y2 + 5z2 è 43.

 

Il quadrato di un numero primo dispari della forma 8n ± 1 o 8n ± 5 si può esprimere come somma di 3 quadrati in n modi diversi. Per esempio, 19 = 8 • 3 – 5 e 192 si può esprimere come somma di quadrati in 3 modi diversi: 192 = 381 = 182 + 62 + 12 = 172 + 2 • 62 = 152 + 102 + 62.

 

Per il numero di modi per esprimere un intero come somma di k quadrati v. funzione rk.

 

Gli unici quadrati che non possono essere espressi come somma di 3 quadrati non nulli sono 12 = 1, 22 = 4 e 52 = 25.

Gli unici quadrati che non possono essere espressi come somma di 4 quadrati non nulli sono 12 = 1 e 32 = 9.

 

I numeri naturali non rappresentabili come somma di quadrati maggiori di 1 sono: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 19 e 23.

Se si utilizzano multipli di quadrati maggiori di 1, tutti gli interi tranne i 12 sopra elencati sono rappresentabili con due addendi. In altri termini, tranne queste eccezioni, tutti gli interi si possono rappresentare come am2 + bn2, con m e n maggiori di 1.

 

L’identità a2b1(a1pr + b2qs)2 + a1b2(a2psb1qr)2 = (a1a2p2 + b1b2q2)(a1b1r2 + a2b2s2), dovuta a Eulero (1769), permette di trovare soluzioni parametriche dell’equazione ax2 + by2 = c, con a, b e c fissati e c composto.

 

Esistono 54 combinazioni di interi a, b, c e d tali che ogni intero positivo si possa esprimere come ax2 + by2 + cw2 + dz2, con x, y, w e z interi anche nulli:

  • [ 1, 1, 1, 1 .. 7 ],

  • [ 1, 1, 2, 2 .. 14 ],

  • [ 1, 1, 3, 3 .. 6 ],

  • [ 1, 2, 2, 2 .. 7 ],

  • [ 1, 2, 3, 3 .. 10 ],

  • [ 1, 2, 4, 4 .. 14 ],

  • [ 1, 2, 5, 6 .. 10 ].

Tali forme quadratiche sono chiamate “universali”; Ramanujan individuò tutte quelle contenenti solamente quadrati dei parametri nel 1910, ma incluse erroneamente anche la combinazione [ 1, 2, 5, 5 ], che non è corretta, perché 15 non si può esprimere come x2 + 2y2 + 5w2 + 5z2.

 

Esistono 88 forme quadratiche simili, che permettono di rappresentare tutti gli interi positivi tranne uno, chiamate “quasi universali”, come x2 + 2y2 + 3w2 + 4z2, che non permette di rappresentare 1 o x2 + 2y2 + 7w2 + 13z2, che non permette di rappresentare 15.

 

John Horton Conway e W. A. Schneeberger dimostrarono nel 1993 che una forma quadratica è universale se e solo se può rappresentare tutti gli interi da 1 a 15, per cui questo teorema è noto come “teorema del 15”. Più precisamente una forma quadratica è universale se e solo se permette di rappresentare 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14 e 15. La dimostrazione vale per qualsiasi numero di variabili.

E' stato dimostrato che nessuna forma quadratica contenente solo quadrati con meno di 4 variabili può essere universale.

In particolare nel caso di forme quadratiche ternarie, del tipo ax2 + by2 + cz2, con x, y e z interi anche nulli, è stato dimostrato che esistono sempre valori p e r, con p primo e divisore di 2abc, tali che tutti i numeri della forma np + r non sono rappresentabili.

 

Nel 2005 Manjul Bhargava e Jonathan P. Hanke dimostrarono lo stesso teorema per forme quadratiche universali, con polinomi uniformi generici, quindi contenenti anche prodotti dei parametri, cioè termini come xy. In questo caso 15 va sostituito con 290 e il teorema è chiamato “teorema del 290”. Più precisamente una forma quadratica è universale se e solo se permette di rappresentare 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, e 290. Le forme quadratiche di questo genere sono in tutto 204; il numero sale a 6436 se si permette un qualsiasi numero di parametri, non considerando però forme che possono essere rese equivalenti ad altre tramite una sostituzione di variabili.

Bhargava dimostrò anche che una forma quadratica permette di rappresentare tutti gli interi dispari se e solo se permette di rappresentare 1, 3, 5, 7, 11, 15 e 33, teorema chiamato “teorema del 33”, e che una forma quadratica permette di rappresentare tutti i numeri primi se e solo se permette di rappresentare gli interi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67 e 73.

 

Esistono anche forme quadratiche che permettono di rappresentare tutti gli interi di una progressione aritmetica, con poche eccezioni.

Ramanujan esaminò la forma x2 + y2 + 10z2, trovando solo 16 interi positivi dispari non rappresentabili: 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307 e 391. In seguito all’elenco furono aggiunti 679 e 2719 e le ricerche furono estese sino a 150000 senza trovare altre eccezioni. Nel 1990 W. Duke e R. Schulze-Pillot dimostrarono che le eccezioni sono in numero finito esolo nel 1997 Ken Ono e K. Soundararajan dimostrarono che, supponendo vera una versione generale dell’ipotesi di Riemann, la forma quadratica di Ramanujan può rappresentare tutti gli interi positivi dispari, con le 18 suddette eccezioni. Un curioso corollario è che ogni intero positivo si può rappresentare come 2x2 + 4y2 + 5Tz, tranne: 1, 3, 10, 15, 16, 21, 33, 39, 43, 66, 108, 109, 111, 126, 153, 195, 339 e 1359.

Per quanto riguarda i numeri pari, Ramanujan suppose che tutti e soli i numeri della forma 4k(16n + 6) non siano rappresentabili da questa forma quadratica; nel 1927 E.L. Dickson dimostrò che la congettura è vera.

 

Se al posto dei quadrati si usano altri polinomi di secondo grado, possono bastare tre addendi per rappresentare qualsiasi intero positivo (per esempio, nel caso dei numeri triangolari); può anche bastare che uno solo degli addendi non sia un semplice quadrato:

  • Matijasevic dimostrò nel 1971 che ogni intero positivo si può esprimere come a2 + b2 + c2 + c + 1;

  • Eulero dimostrò che ogni intero positivo si può esprimere come somma di due quadrati e un numero triangolare;

  • nel 2009 B.K. Oh e Zhi-Wei Sun dimostrarono che ogni intero positivo si può esprimere come somma di un quadrato, un quadrato dispari e un numero triangolare.

 

Nel 2010 Ben Kane e Zhi-Wei Sun dimostrarono che tutti gli interi abbastanza grandi si possono esprimere come 2ax2 + y2 + z2 se e solo se tutti i fattori primi di a sono della forma 4k + 1;

 

Altri risultati relativi alla possibilità di rappresentare gli interi come somma di quadrati e numeri triangolari si trovano alla voce numeri triangolari.

 

Risultati simili sono stati dimostrati per altri numeri ottenibili da altri polinomi; in particolare ogni intero maggiore di a^2 * (a + 1) / 2 può essere espresso come somma di interi distinti della forma an2a + 1.

 

R.C. Crocker dimostrò (Colloq. Mat., n. 112, 2008) che, fissato un intero k, esistono infiniti interi positivi non rappresentabili come somma di due quadrati e una o due potenze di k.

 

Nel 1752, in una lettera a Eulero, Goldbach suppose che ogni intero dispari si possa esprimere come somma di un primo e del doppio di un quadrato (eventualmente nullo). Eulero verificò l’affermazione sino a 2500, non riuscendo a provarla, né smentirla. Solo nel 1856 M.A. Stern e i suoi studenti trovarono i due controesempi 5777 e 5993, a tutt’oggi ancora le uniche eccezioni note.

A quei tempi si considerava 1 come primo, quindi Goldbach non sentì il bisogno di escludere 1 dai numeri rappresentabili, come facciamo oggi.

Se non ammettiamo i quadrati nulli, sono note solo altre 7 eccezioni: 3, 17, 137, 227, 977, 1187 e 1493 (v. numeri di Stern).

 

I numeri non esprimibili come somma di un quadrato e un primo (eventualmente nullo) sono probabilmente in numero finito; quelli noti sono: 2, 5, 10, 13, 31, 34, 37, 58, 61, 85, 91, 127, 130, 214, 226, 370, 379, 439, 526, 571, 706, 730, 771, 829, 991, 1255, 1351, 1414, 1549, 1906, 2986, 3319, 3676, 7549, 9634, 21679 (v. congettura H di Hardy e Littlewood).

 

Eulero avanzò la congettura che ogni numero naturale della forma 8k + 3 sia rappresentabile come somma di un quadrato e del doppio di un primo.

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

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    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

  • Klamkin, Murray S.;  USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, Washington, The Mathematical Association of America, 1988 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Una storia di numeri quadrati" in Le Scienze, n. 462, Febbraio 2007, pag. 103.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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