Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di quadrati
  3. 3. Insiemi che producono quadrati tramite addizioni e moltiplicazioni
  4. 4. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati
  5. 5. Rappresentazione degli interi come differenza di quadrati
  6. 6. Proprietà basate sulle cifre

E’ relativamente facile trovare progressioni aritmetiche di tre interi tali che la somma di due qualsiasi sia un quadrato: si trova una progressione aritmetica di tre quadrati x2n, = y2, x2 e x2 + n = z2 (v. numeri congruum) col termine centrale pari e i tre numeri desiderati saranno: x^2 / 2 – nx^2 / 2 e x^2 / 2 + n. Le formule di Fibonacci x = t2(a2 + b2) e n = 4ab(a2b2)t2 permettono di trovare facilmente terne del genere, tuttavia bisogna avere l’accortezza di prendere b tra 0 e Limite superiore per il primo intervallo di valori validi per b o tra Limite inferiore per il secondo intervallo di valori validi per b e a, altrimenti il primo termine della progressione diviene negativo.

H.E. Dudeney in Amusement in Mathematics (si veda la bibliografia in fondo all’articolo) indicò correttamente la soluzione col minimo valore per il termine minimo (386, 8450 e 16514) e quella con la minima somma dei termini (482, 3362, 6242).

 

Nel 1970 J. Lagrange scoprì che la somma di due qualsiasi degli interi –4878, 4978, 6903, 12978 e 31122 è un quadrato; non si sa se esistano insiemi del genere formati da 6 o più interi.

 

L’insieme dei 12 numeri primi (con segno): { –2646613, –2311333, –1059181, –805213, 274019, 966227, 1075259, 1107467, 1119227, 1133219, 1146947, 1151963 } ha la curiosa proprietà che la somma di 11 qualsiasi (ossia la somma di tutti meno uno, in 12 modi diversi) è il quadrato di un primo.

 

Diofanto propose il problema di trovare quattro numeri razionali, tali che il prodotto di due qualsiasi di essi sia il quadrato di un numero razionale meno uno e diede come soluzione 1 / 16, 33 / 1668 / 16 e 105 / 16. Fermat trovò una soluzione con numeri interi: 1, 3, 8 e 120 e da allora il problema, riferito agli interi, ha attratto l’attenzione di numerosi matematici.

 

Eulero dimostrò che esistono infinite quaterne del genere, perché se gli interi a, b e c sono tali che ab + 1 = c2, allora a, b, a + b + 2c e 4c(a + c)(b + c) sono una quaterna; il grande matematico scrisse inoltre di non essere riuscito a trovare un quinto intero da aggiungere all’insieme di Fermat, ma che aggiungendo 777480 / 2879 si ottiene un insieme di 5 numeri razionali con la proprietà desiderata.

 

V. Hoggatt e G. Bernum dimostrarono che infinite quaterne del genere si possono ricavare dai numeri di Fibonacci: per ogni intero positivo n, F2n, F2n + 2, F2n + 4 e 4F2n + 1F2n + 2F2n + 3 sono una quaterna con la stessa proprietà. La quaterna di Fermat si ottiene per n = 1; per n = 2 si ottiene la quaterna { 3, 8, 21, 2080 } e per n = 3 si ottiene la quaterna { 8, 21, 55, 37128 }.

 

Jones dimostrò che esistono infinite quaterne con la stessa proprietà, ottenibili come: x, x + 2, Terzo termine della quaterna e Quarto termine della quaterna, dove Formula per aFormula per b e k è un intero positivo qualsiasi; per x = k = 1 si ottiene la quaterna di Fermat.

 

Altri matematici tentarono, anche con l’aiuto di elaboratori, di sostituire 120 con un altro numero nella quaterna di Fermat e di aggiungere un quinto numero. Le ricerche non diedero esito e il limite minimo venne progressivamente aumentato, sino a quando nel 1969 H. Davenport e A. Baker dimostrarono che non esistono altri interi che possano sostituirlo e che non si può estendere l’insieme con un quinto intero.

 

M. Velluppillai dimostrò nel 1980 non si può aggiungere un quinto intero alla quaterna 2, 4, 12 e 420, né sostituire 420 con un altro numero.

 

Questi risultati sono lievemente sorprendenti, dato che J. Arkin, V.E. Hoggatt e E.G. Strauss dimostrarono nel 1979 che qualsiasi terna del genere può invece essere estesa a una quaterna . Infatti, data una terna { a, b, c }, con ab + 1 = r2, ac + 1 = s2 e bc + 1 = t2, si può aggiungere d = a + b + c + 2abc + 2rst. Dato che esistono infinite terne della forma { 1, n2 – 1, n2 + 2n } con n > 1, estendendole si ottengono infinite quaterne.

 

La caccia a un insieme di 5 interi del genere è tuttora aperta.

Nel 2004 A. Dujella dimostrò però che non esistono insiemi di 6 interi e che quelli di 5 sono al massimo in numero finito, tutte con numeri inferiori a 101026.

 

Sono anche state trovate infinite quaterne di numeri razionali, nelle quali il prodotto di tre qualsiasi è uguale a un quadrato meno uno, come 9 / 40, 1, 5 / 2 e 640 / 81.

 

Nel 2015 M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath costruirono infinite terne contenenti due numeri poligonali o due numeri poligonali centrati, tali che il prodotto di due qualsiasi di essi più un intero fissato k sia un quadrato.

Nel 2015 M.A. Gopalan e V. Geetha ampliarono l’elenco.

La tabella seguente mostra alcune terne del genere contenenti numeri poligonali e numeri poligonali centrati.

Terna

k

Scopritori e anno

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

1

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

1

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

4

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

4

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

4

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

4

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

9

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

9

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

36

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

36

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

169

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

169

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

49

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

49

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

225

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

225

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

64

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

64

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

289

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

289

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

81

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

81

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

361

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

361

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

100

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

100

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

441

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

441

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

–7

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

–7

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

9

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

9

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

5

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

5

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

12

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

12

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

21

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

21

M.A. Gopalan, V. Sangeetha e Manju Somanath, 2014

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

32n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

32n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

64n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

153n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

153n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

289n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

45n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

45n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

81n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

209n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

209n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

361n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

60n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

60n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

100n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

273n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

273n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

441n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

77n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

77n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

121n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

345n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

345n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

529n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

96n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

96n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

144n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

425n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più k sia un quadrato

425n2

M.A. Gopalan e V. Geetha, 2015

 

Per esempio, per qualsiasi valore di n la terna Terna di interi tali che il prodotto di due di essi più 36 sia un quadrato ha questa proprietà con k = 36, perché per qualsiasi valore intero positivo di n:

  • P16(n) * P16(n – 2) + 36 = (7 * n^2 – 20 * n + 6)^2,

  • P16(n) * (P58(n) – 53 * n + 52) + 36 = 4 * (7 * n^2 – 13 * n + 3)^2,
  • P16(n – 2) * (P58(n) – 53 * n + 52) + 36 = 4 * (7 * n^2 – 27 * n + 23)^2.

 

Il prodotto di 4 interi in progressione aritmetica è un quadrato solo nel caso di { –3, –1, 1, 3 }.

Bibliografia

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
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    il testo è ormai introvabile, ma fortunatamente ne esiste un’edizione più recente, Dover, New York, 1958, ristampato nel 1970.

  • Dujella, A.;  "There are only finitely many Diophantine quintuples" in Journal für die reine und angewandte Mathematik, n. 566, pag. 183 – 214, 2004.
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    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of America, 2003 -

    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

  • Klamkin, Murray S.;  USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, Washington, The Mathematical Association of America, 1988 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Una storia di numeri quadrati" in Le Scienze, n. 462, Febbraio 2007, pag. 103.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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