Indice
- 1. Pagina principale
- 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di quadrati
- 3. Insiemi che producono quadrati tramite addizioni e moltiplicazioni
- 4. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati
- 5. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati e altri addendi
- 6. Rappresentazione degli interi come differenza di quadrati
- 7. Proprietà basate sulle cifre
A parte 0 e 1 non esistono quadrati consecutivi, ma esistono sequenze arbitrariamente lunghe di interi consecutivi multipli di quadrati.
Le coppie di interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 1000 iniziano con: 8, 24, 27, 44, 48, 49, 63, 75, 80, 98, 99, 116, 120, 124, 125, 135, 147, 152, 168, 171, 175, 188, 207, 224, 242, 243, 244, 260, 275, 279, 288, 296, 315, 324, 332, 342, 343, 350, 351, 360, 363, 368, 375, 387, 404, 423, 424, 440, 459, 475, 476, 495, 507, 512, 524, 528, 531, 539, 548, 549, 567, 575, 584, 603, 604, 620, 624, 636, 639, 656, 675, 692, 711, 724, 725, 728, 735, 747, 764, 774, 775, 783, 800, 819, 824, 832, 836, 840, 844, 845, 846, 847, 855, 867, 872, 875, 891, 908, 924, 927, 931, 944, 960, 963, 975, 980, 999.
Le sequenze di 3 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 1000 iniziano con: 48, 98, 124, 242, 243, 342, 350, 423, 475, 548, 603, 724, 774, 844, 845, 846.
Le sequenze di 4 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 104 iniziano con: 242, 844, 845, 1680, 1681, 2888, 2889, 3174, 3624, 3625, 3750, 5046, 5047, 8475, 8523, 8954, 10050, 10827, 10924, 10925.
Le sequenze di 5 interi consecutivi multipli di un quadrato inferiori a 105 iniziano con: 844, 1680, 2888, 3624, 5046, 10924, 14748, 15848, 17404, 19940, 22020, 22021, 22624, 23272, 24647, 24648, 25772, 29348, 30248, 30923, 30924, 33172, 36700, 37248, 38724, 39444, 40472, 45372, 47672, 47673, 47724, 47824, 48372, 49488, 54584, 55024, 55447, 55448, 57120, 57121, 58472, 58848, 59774, 59924, 61224, 62864, 62972, 63844, 66048, 68648, 68948, 69648, 72960, 73447, 73448, 74848, 74849, 77272, 80948, 84328, 84572, 85848, 86272, 87372, 91824, 93048, 93624, 94984, 95748, 96675, 96676, 99124.
Le sequenze di 6 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 106 iniziano con: 22020, 24647, 30923, 47672, 55447, 57120, 73447, 74848, 96675, 105772, 121667, 121847, 152339, 171348, 179972, 182347, 185247, 190447, 200848, 204323, 215303, 217070, 217071, 229172, 233223, 234375, 240424, 268223, 274547, 310120, 327424, 338920, 349323, 379211, 399175, 430072, 455748, 466047, 476375, 517308, 548572, 580848, 595048, 630772, 646748, 657872, 671346, 671347, 675491, 679775, 685948, 689820, 694175, 697072, 702023, 710647, 730247, 801472, 808155, 826824, 826825, 834271, 868623, 887047, 893220, 899248, 915856, 939320, 978675.
Le sequenze di 7 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 107 iniziano con: 217070, 671346, 826824, 1092747, 1092748, 1427370, 2097048, 2779370, 3112819, 3306444, 3597723, 3994820, 4063774, 4442874, 4630544, 4842474, 5436375, 5479619, 5610644, 5634122, 6315019, 6474220, 6626319, 6677864, 7128471, 7216618, 7216619, 7295448, 7507923, 7826571, 7885371, 7896148, 7967724, 8057750, 8327348, 8559171, 8806622, 8870024, 8870025, 8870026, 8971946, 9112723, 9277070, 9561174, 9570974, 9642122, 9930974, 9937246.
Le sequenze di 8 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 108 iniziano con: 1092747, 7216618, 8870024, 8870025, 14379271, 22635347, 24816974, 25047846, 33678771, 33908368, 33908369, 34394371, 34682346, 37923938, 49250144, 49250145, 53379270, 69147868, 69147869, 70918820, 70918821, 71927247, 72913022, 83605071, 85972019, 90571646.
Le sequenze di 9 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 109 iniziano con: 8870024, 33908368, 49250144, 69147868, 70918820, 111500620, 112931372, 164786748, 167854344, 200997948, 203356712, 207543320, 211014920, 216785256, 221167422, 221167423, 221167424, 236645624, 240574368, 262315467, 262315468, 264459172, 266890544, 267921948, 282144048, 293770968, 301618024, 343858524, 345757372, 349678744, 363504972, 363504973, 370157268, 389541948, 413654370, 426688224, 441143148, 450602724, 463239475, 463239476, 469278044, 477543072, 509559672, 515381948, 517686272, 523945844, 547446224, 552632872, 600392436, 603408244, 632608568, 642883768, 672927824, 698510972, 705017868, 730614542, 737295448, 771194824, 834274244, 856724768, 859805918, 860604144, 869163448, 875739068, 884561372, 898849820, 902892468, 922455472, 923803172, 948633824, 950077268, 984144120, 988345968, 989907648.
Le sequenze di 10 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 109 iniziano con: 221167422, 221167423, 262315467, 363504972, 463239475.
L’unica sequenza di 11 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 109 inizia con 221167422.
Qui trovate il minimo intero delle coppie di interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 106.
Qui trovate il minimo intero delle sequenze di 3 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 106.
Qui trovate il minimo intero delle sequenze di 4 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 108 (2 Mbyte).
Qui trovate il minimo intero delle sequenze di 5 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 108.
Qui trovate il minimo intero delle sequenze di 6 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 109.
Qui trovate il minimo intero delle sequenze di 7 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 109.
Qui trovate il minimo intero delle sequenze di 8 interi consecutivi multipli di quadrati inferiori a 109.
La tabella seguente riporta il minimo intero a partire dal quale si trova una sequenza di almeno n interi consecutivi multipli di quadrati maggiori di 1.
|
n |
Minimo intero |
Scopritore e anno |
|
1 |
4 |
Erich Friedman |
|
2 |
8 |
Erich Friedman |
|
3 |
48 |
Erich Friedman |
|
4 |
242 |
Erich Friedman |
|
5 |
844 |
Erich Friedman |
|
6 |
22020 |
Erich Friedman |
|
7 |
217070 |
Erich Friedman |
|
8 |
1092747 |
Erich Friedman |
|
9 |
8870024 |
Patrick De Geest (1999) |
|
10 |
221167422 |
David Bernier (1999) |
|
11 |
221167422 |
Patrick De Geest (1999) |
|
12 |
47255689915 |
Louis Marmet (1999) |
|
13 |
82462576220 |
Louis Marmet (1999) |
|
14 |
1043460553364 |
Louis Marmet (1999) |
|
15 |
79180770078548 |
Louis Marmet (1999) |
|
16 |
3215226335143218 |
Z. McGregor-Dorsey (2000) |
|
17 |
23742453640900972 |
E. Wong (2001) |
|
18 |
125781000834058568 |
Louis Marmet (2005) |
|
19 |
≤ 31310794237768728712 |
Eric Bryce Wong (2000) |
|
20 |
≤ 321362101382225854472 |
Eric Bryce Wong (2000) |
|
21 |
≤ 321362101382225854472 |
Eric Bryce Wong (2000) |
|
22 |
≤ 213922449434979698424416 |
Eric Bryce Wong (2000) |
|
23 |
≤ 687445369966391012821156868 |
Eric Bryce Wong (2000) |
|
24 |
≤ 28548715276566524078226797585011 |
Eric Bryce Wong (2000) |
I valori per n da 19 a 24 probabilmente non sono i minimi.
La tabella seguente riporta il minimo intero a partire dal quale si trova una sequenza di esattamente n interi consecutivi multipli di quadrati maggiori di 1 (David Bernier, Patrick De Geest, Eric Friedman, Z. McGregor-Dorsey, Louis Marmet e E. Wong, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
|
n |
Minimo intero |
|
1 |
4 |
|
2 |
8 |
|
3 |
48 |
|
4 |
242 |
|
5 |
844 |
|
6 |
22020 |
|
7 |
217070 |
|
8 |
1092747 |
|
9 |
8870024 |
|
10 |
262315467 |
|
11 |
221167422 |
|
12 |
47255689915 |
|
13 |
82462576220 |
|
14 |
1043460553364 |
|
15 |
79180770078548 |
|
16 |
3215226335143218 |
|
17 |
23742453640900972 |
|
18 |
125781000834058568 |
Tabelle numeriche
I quadrati degli interi sino a 10000 (1.3 Mbyte).Vedi anche
Pseudoquadrati, Biquadrati, Congettura di Brocard (II), Congetture di Farhi, Congetture di Zhi-Wei Sun sulle sequenze, Cubi, Funzione rk, Numeri di Brown, Numeri figurati, Numeri poligonali, Numeri quadrati centrati, Potenze, Residui quadratici.Bibliografia
- Arkin, Joseph; Hoggatt, Verner E. Jr.; Straus, E.G.; "On Euler’s Solution of a Problem of Diophantus" in Fibonacci Quarterly, n. 17, pag. 333 – 339, 1979.
- De Koninck, Jean-Marie; Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -
Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.
- Derbyshire, John; Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
- Dudeney, Henry Ernest; Amusement in Mathematics, Thomas Nelson & Sons, 1917 -
il testo è ormai introvabile, ma fortunatamente ne esiste un’edizione più recente, Dover, New York, 1958, ristampato nel 1970.
- Dujella, A.; "There are only finitely many Diophantine quintuples" in Journal für die reine und angewandte Mathematik, n. 566, pag. 183 – 214, 2004.
- Honsberger, Ross; In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -
Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.
- Honsberger, Ross; Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
- Honsberger, Ross; Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of America, 2003 -
Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.
- Klamkin, Murray S.; USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, Washington, The Mathematical Association of America, 1988 -
Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.
- Odifreddi, Piergiorgio; "Una storia di numeri quadrati" in Le Scienze, n. 462, Febbraio 2007, pag. 103.
- Pickover, Clifford A.; A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
- Roberts, Joe; The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -
Una miniera di informazioni sugli interi.
- Stillwell, John; Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.