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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di quadrati
  3. 3. Insiemi che producono quadrati tramite addizioni e moltiplicazioni
  4. 4. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati
  5. 5. Rappresentazione degli interi come differenza di quadrati
  6. 6. Proprietà basate sulle cifre

I quadrati sono le seconde potenze degli interi, cioè gli interi uguali al prodotto di un intero per se stesso.

 

Sono utilizzati praticamente dappertutto in matematica.

 

Un quadrato è naturalmente anche il numero di palline che possono formare un quadrato, pertanto è un numero figurato, più precisamente poligonale.

 

I quadrati come numeri figurati

 

 

Ogni quadrato si può ottenere come somma di 2 numeri triangolari consecutivi: n2 = Tn + Tn – 1.

Ogni quadrato dispari si può ottenere come somma di 8 volte un numero triangolare più uno: (2n + 1)2 = 8Tn + 1.

 

I quadrati generalizzati, cioè i quadrati con indici negativi, coincidono naturalmente con i quadrati.

 

Alcune somme che coinvolgono quadrati:

Formula per la somma dei primi n quadrati;

Formula per la somma dei primi n quadrati a segni alterni;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati a segni alterni.

 

Una somma notevole di prodotti di reciproci di quadrati è Formula per una somma di prodotti di reciproci di quadrati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei quadrati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei quadrati.

 

La tabella seguente mostra i quadrati degli interi sino a 20.

n

n2

0

0

1

1

2

4

3

9

4

16

5

25

6

36

7

49

8

64

9

81

10

100

11

121

12

144

13

169

14

196

15

225

16

256

17

289

18

324

19

361

20

400

 

Gli unici quadrati che siano anche numeri piramidali sono 1 e 4900, quindi la somma dei primi n quadrati è un quadrato solo per n = 1 o 24 (v. numeri piramidali (I)).

 

I quadrati dispari sono anche numeri ottagonali centrati (v. numeri poligonali centrati).

 

Per i quadrati che sono anche numeri stella octangula v. numeri stella octangula.

 

Per quadrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

La somma dei primi n numeri dispari è n2.

 

La media dei primi n quadrati è un quadrato solo se Valori di n tali che la media dei primi n quadrati sia un quadrato, per qualsiasi k intero maggiore di zero. Vale a dire che Media dei primi n quadrati uguale a un quadrato ha soluzioni intere solo per quei valori di n.

La soluzione generale è complicata, ma determinare la minima soluzione maggiore di 1 (che è 337) è un compito più semplice, tanto che venne proposto come problema il 22/4/1986 nelle Olimpiadi americane di matematica, per studenti delle medie superiori (si veda USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986 nella bibliografia).

 

L’unico quadrato della forma 2n – 1 è 1 e l’unico quadrato della forma 2n + 1 è 9 = 32.

 

Il solo quadrato uguale a una somma di potenzeconsecutive della stessa base, a partire da 1, è 112 = 121 = 1 + 3 + 32 + 33 + 34.

 

Gli unici quadrati noti della forma n! + 1 sono 52 = 25 = 4! + 1, 72 = 121 = 5! + 1, e 712 = 5041 = 7! + 1 (v. numeri di Brown).

 

Ramanujan congetturò nel 1913 che 2n + 2 – 7 è un quadrato solo per n = 1, 22, 3, 5 e 13; nel 1958 T. Skolem, S. Chowla e D.J. Lewis dimostrarono la congettura e anche che 2n + k, con k non della forma 8m + 1, può essere un quadrato solo per n uguale a 0, 1 o 2.

Nel 1960 Nagell dimostrò nuovamente la congettura e da allora l’equazione 2n + 2 – 7 = x2 è nota come “equazione di Ramanujan – Nagell”.

Nel 1978 M. Toyoizumi e Tanahashi dimostrarono indipendentemente che 2n – 7m è un quadrato solo nei casi sopra citati e per n = 9 e m = 3.

Nagell dimostrò che yn – 3 non è un quadrato se n > 1 e altri matematici hanno dimostrato che 3n – 11 è un quadrato solo se n = 3.

 

Un quadrato di un numero dispari diviso per 8 dà resto 1.

 

L’unico numero uguale alla somma dei quadrati dei suoi 4 divisori minori è 130 = 12 + 22 + 52 + 1.

 

Se d2(n) è il massimo intero il cui quadrato divida n, Sierpiński dimostrò nel 1908 che Media tra uno e 1 dei massimi divisori il cui quadrato divida il numero tende a Limite cui tende la media dei massimi divisori il cui quadrato divida il numero.

 

Littlewood si chiese se per ogni coppia di interi diversi h e k, n + h e n + k siano quadrati per infiniti valori di n; C. Hooley dimostrò nel 1973 che è vero.

 

In una gara tra Austria e Polonia venne posto il problema di determinare la più lunga sequenza di quadrati, in ordine crescente, ma non necessariamente consecutivi, tali che la differenza tra due termini consecutivi sia un primo o il quadrato di un primo (Si veda In Pólya’s Footsteps, citato nella bibliografia). La soluzione è la sequenza: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.

 

Esistono infinite progressioni aritmetiche di 3 quadrati, come 1, 25, 49, (v. numeri congrua), ma nessuna di 4, come supposto da Fermat e dimostrato da Eulero.

Se a2, b2 e c2 sono tre quadrati in progressione aritmetica, allora:

  • a = |x2 – 2xyy2|, b = x2 + y2 e c = x2 + 2xyy2, per una coppia di interi positivi x e y primi tra loro;

  • (c – a) / 2(c + a) / 2 e b formano una terna pitagorica.

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose due congetture sugli interi non multipli di quadrati; se sn è l’n-esimo intero non multiplo di quadrati:

  • Formula che coinvolge gli interi non multipli di quadrati è strettamente decrescente per n maggiore di 6;

  • Formula che coinvolge gli interi non multipli di quadrati è strettamente crescente per n maggiore di 6.

Sun verificò le due congetture per n sino a 500000.

 

La sequenza dei numeri an che non sono quadrati: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, ... è data dalla formula Formula per i numeri che non sono quadrati per n > 0.

Bibliografia

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
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    il testo è ormai introvabile, ma fortunatamente ne esiste un’edizione più recente, Dover, New York, 1958, ristampato nel 1970.

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    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
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    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

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    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

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    Una miniera di informazioni sugli interi.

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