Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Primi uguali a somme di potenze

Teoria dei numeri 

Dalla congettura di Bunyakovsky segue che esistono infiniti numeri primi esprimibili come somma di varie combinazioni di potenze, tuttavia solo in pochissimi casi si è riusciti a dimostrare che alcuni polinomi di grado maggiore di 1 in due variabili generano effettivamente infiniti primi:

  • Eulero dimostrò l’esistenza di infiniti primi della forma n2 + km2, se k è un numero idoneo; in particolare tutti e soli i primi della forma 4k + 1 possono essere espressi come n2 + m2; (Fermat);

  • Etienne Fouvry e Henryk Iwaniec dimostrarono che esistono infiniti primi della forma n2 + p2 con p primo

  • J.V. Linnik dimostrò nel 1960 che esistono infiniti primi della forma n2 + m2 + 1;

  • Henryk Iwaniec e John Friedlander dimostrarono nel 1997 l’esistenza di infiniti primi della forma n2 + m4 e che il numero di primi di tale forma minori di x tende a c * x^(3 / 4) / log(x), per una costante c;

  • nel 2015 D.R. Heath-Brown e Xiannann Li dimostrarono l’esistenza di infiniti primi della forma n2 + p4 con p primo;

  • D.R. Heath-Brown dimostrò nel 2001 l’esistenza di infiniti primi della forma n3 + 2m3 e che esiste una costante k tale che il numero di primi di questa forma con n < x e c * x^2 / log(x) tende a c * x^2 / log(x), per una costante c. Hardy e Littlewood avevano proposto la congettura dell’esistenza di infiniti primi uguali alla somma di tre cubi positivi, che quindi è stata quindi dimostrata vera; resta aperta la congettura dell’esistenza di infiniti primi uguali alla somma di tre cubi distinti.

 

I primi della forma n2 + m2 + 1 minori di 1000 con nm > 0 sono:

3 = 12 + 12 + 1,

11 = 32 + 12 + 1,

19 = 32 + 32 + 1,

41 = 62 + 22 + 1,

53 = 62 + 42 + 1,

59 = 72 + 32 + 1,

73 = 62 + 62 + 1,

83 = 92 + 12 + 1,

101 = 82 + 62 + 1,

107 = 92 + 52 + 1,

131 = 112 + 32 + 1 = 92 + 72 + 1,

137 = 102 + 62 + 1,

149 = 122 + 22 + 1,

163 = 92 + 92 + 1,

179 = 132 + 32 + 1,

181 = 122 + 62 + 1,

227 = 152 + 12 + 1,

233 = 142 + 62 + 1,

251 = 132 + 92 + 1 = 152 + 52 + 1,

293 = 162 + 62 + 1,

307 = 152 + 92 + 1,

347 = 152 + 112 + 1,

389 = 182 + 82 + 1,

401 = 162 + 122 + 1,

443 = 192 + 92 + 1 = 212 + 12 + 1,

467 = 212 + 52 + 1,

491 = 212 + 72 + 1,

521 = 182 + 142 + 1 = 222 + 62 + 1,

523 = 212 + 92 + 1,

563 = 212 + 112 + 1,

587 = 192 + 152 + 1,

593 = 242 + 42 + 1,

613 = 242 + 62 + 1,

641 = 242 + 82 + 1,

677 = 242 + 102 + 1,

739 = 272 + 32 + 1,

773 = 242 + 142 + 1,

809 = 222 + 182 + 1,

811 = 272 + 92 + 1,

821 = 262 + 122 + 1 = 282 + 62 + 1,

883 = 212 + 212 + 1,

929 = 282 + 122 + 1,

937 = 302 + 62 + 1,

971 = 232 + 212 + 1 = 312 + 32 + 1,

977 = 242 + 202 + 1.

Qui trovate i primi della forma n2 + m2 + 1 con nm > 0 minori di 106.

 

I primi della forma n2 + m4 minori di 1000 con n e m maggiori di 1 sono:

41 = 52 + 24,

97 = 42 + 34 = 92 + 24,

137 = 112 + 24,

181 = 102 + 34,

241 = 152 + 24,

277 = 142 + 34,

281 = 52 + 44,

337 = 162 + 34 = 92 + 44,

457 = 212 + 24,

617 = 192 + 44,

641 = 252 + 24 = 42 + 54,

661 = 62 + 54,

757 = 262 + 34,

769 = 122 + 54,

821 = 142 + 54,

857 = 292 + 24,

881 = 162 + 54 = 252 + 44,

977 = 312 + 24.

Qui trovate i primi della forma n2 + m4 minori di 108 con n e m maggiori di 1 (1.6 MByte).

 

I primi della forma n3 + 2m3 minori di 1000 con n e m maggiori di 1 sono:

3 = 13 + 2 • 13,

17 = 13 + 2 • 23,

29 = 33 + 2 • 13,

43 = 33 + 2 • 23,

127 = 53 + 2 • 13,

179 = 53 + 2 • 33,

251 = 13 + 2 • 53,

277 = 33 + 2 • 53,

359 = 73 + 2 • 23,

397 = 73 + 2 • 33,

433 = 13 + 2 • 63,

557 = 53 + 2 • 63,

593 = 73 + 2 • 53,

811 = 53 + 2 • 73,

857 = 93 + 2 • 43.

Qui trovate i primi della forma n3 + 2m3 minori di 109 con n e m maggiori di 1 (1.3 MByte).

 

I primi uguali alla somma di tre cubi positivi minori di 1000 sono:

2 = 13 + 13 + 03,

3 = 13 + 13 + 13,

17 = 23 + 23 + 13,

29 = 33 + 13 + 13,

43 = 33 + 23 + 23,

73 = 43 + 23 + 13,

127 = 53 + 13 + 13,

179 = 53 + 33 + 33,

197 = 53 + 43 + 23,

251 = 53 + 53 + 13 = 63 + 33 + 23,

277 = 53 + 53 + 33,

281 = 63 + 43 + 13,

307 = 63 + 43 + 33,

349 = 63 + 53 + 23,

359 = 73 + 23 + 23,

397 = 73 + 33 + 33,

433 = 63 + 63 + 13,

521 = 83 + 23 + 13,

547 = 83 + 33 + 23,

557 = 63 + 63 + 53,

577 = 83 + 43 + 13,

593 = 73 + 53 + 53,

701 = 83 + 53 + 43,

757 = 93 + 33 + 13,

811 = 73 + 73 + 53,

853 = 83 + 63 + 53,

857 = 93 + 43 + 43,

863 = 83 + 73 + 23,

881 = 93 + 53 + 33,

919 = 83 + 73 + 43,

953 = 93 + 63 + 23.

Qui trovate i primi uguali alla somma di tre cubi positivi minori di 107 (2.4 MByte).

 

Gli esperti ritengono che siano infiniti anche primi di numerose altre forme, quali n4 + m4, (n^4 + m^4) / 2, n3 + m3 + k, ma le dimostrazioni non sono ancora state trovate.

 

I primi uguali alla somma di due biquadrati minori di 105 sono:

17 = 24 + 14,

97 = 34 + 24,

257 = 44 + 14,

337 = 44 + 34,

641 = 54 + 24,

881 = 54 + 44,

1297 = 64 + 14,

2417 = 74 + 24,

2657 = 74 + 44,

3697 = 74 + 64,

4177 = 84 + 34,

4721 = 84 + 54,

6577 = 94 + 24,

10657 = 94 + 84,

12401 = 104 + 74,

14657 = 114 + 24,

14897 = 114 + 44,

15937 = 114 + 64,

16561 = 104 + 94,

28817 = 134 + 44,

38561 = 134 + 104,

39041 = 144 + 54,

49297 = 134 + 124,

54721 = 154 + 84,

65537 = 164 + 14,

65617 = 164 + 34,

66161 = 164 + 54,

66977 = 144 + 134,

80177 = 164 + 114,

83537 = 174 + 24,

83777 = 174 + 44,

89041 = 154 + 144.

Qui trovate i primi uguali alla somma di due biquadrati minori di 1012 (1.1 MByte).

 

I primi della forma (n^4 + m^4) / 2 minori di 10000 sono:

41 = (3^4 + 1^4) / 2,

313 = (5^4 + 1^4) / 2,

353 = (5^4 + 3^4) / 2,

1201 = (7^4 + 1^4) / 2,

3593 = (9^4 + 5^4) / 2,

4481 = (9^4 + 7^4) / 2,

7321 = (11^4 + 1^4) / 2,

8521 = (11^4 + 7^4) / 2.

Qui trovate i primi della forma (n^4 + m^4) / 2 minori di 1012.

 

I primi della forma n3 + m3 + k, per k da –10 a 10, minori di 1000 sono:

2 = 23 + 13 – 7,

3 = 13 + 13 + 1 = 23 + 13 – 6,

5 = 13 + 13 + 3 = 23 + 13 – 4,

7 = 13 + 13 + 5 = 23 + 13 – 2 = 23 + 23 – 9

11 = 13 + 13 + 9 = 23 + 13 + 2 = 23 + 23 – 5,

13 = 23 + 13 + 4 = 23 + 23 – 3,

17 = 23 + 13 + 8 = 23 + 23 + 1,

19 = 23 + 13 + 10 = 23 + 23 + 3 = 33 + 13 – 9,

23 = 23 + 23 + 7 = 33 + 13 – 5,

29 = 33 + 13 + 1 = 33 + 23 – 6,

31 = 33 + 13 + 3 = 33 + 23 – 4,

37 = 33 + 13 + 9 = 33 + 23 + 2,

41 = 33 + 23 + 6,

43 = 33 + 23 + 8,

47 = 33 + 33 – 7,

53 = 33 + 33 – 1,

59 = 33 + 33 + 5 = 43 + 13 – 6,

61 = 33 + 33 + 7 = 43 + 13 – 4,

67 = 43 + 13 + 2 = 43 + 23 – 5,

71 = 43 + 13 + 6 = 43 + 23 – 1,

73 = 43 + 13 + 8 = 43 + 23 + 1,

79 = 43 + 23 + 7,

83 = 43 + 33 – 8,

89 = 43 + 33 – 2,

97 = 43 + 33 + 6,

101 = 43 + 33 + 10,

127 = 43 + 43 – 1 = 53 + 13 + 1 = 53 + 23 – 6,

131 = 43 + 43 + 3 = 53 + 13 + 5 = 53 + 23 – 2,

137 = 43 + 43 + 9 = 53 + 23 + 4,

139 = 53 + 23 + 6,

149 = 53 + 33 – 3,

151 = 53 + 33 – 1,

157 = 53 + 33 + 5,

179 = 53 + 43 – 10,

181 = 53 + 43 – 8,

191 = 53 + 43 + 2,

193 = 53 + 43 + 4,

197 = 53 + 43 + 8,

199 = 53 + 43 + 10,

211 = 63 + 13 – 6,

223 = 63 + 13 + 6 = 63 + 23 – 1,

227 = 63 + 13 + 10 = 63 + 23 + 3,

229 = 63 + 23 + 5,

233 = 63 + 23 + 9 = 63 + 33 – 10,

239 = 63 + 33 – 4,

241 = 53 + 53 – 9 = 63 + 33 – 2,

251 = 53 + 53 + 1 = 63 + 33 + 8,

257 = 53 + 53 + 7,

271 = 63 + 43 – 9,

277 = 63 + 43 – 3,

281 = 63 + 43 + 1,

283 = 63 + 43 + 3,

331 = 63 + 53 – 10,

337 = 63 + 53 – 4 = 73 + 13 – 7,

347 = 63 + 53 + 6 = 73 + 13 + 3 = 73 + 23 – 4,

349 = 63 + 53 + 8 = 73 + 13 + 5 = 73 + 23 – 2,

353 = 73 + 13 + 9 = 73 + 23 + 2,

359 = 73 + 23 + 8,

367 = 73 + 33 – 3,

373 = 73 + 33 + 3,

379 = 73 + 33 + 9,

397 = 73 + 43 – 10,

401 = 73 + 43 – 6,

409 = 73 + 43 + 2,

431 = 63 + 63 – 1,

433 = 63 + 63 + 1,

439 = 63 + 63 + 7,

461 = 73 + 53 – 7,

463 = 73 + 53 – 5,

467 = 73 + 53 – 1,

503 = 83 + 13 – 10,

509 = 83 + 13 – 4,

521 = 83 + 13 + 8 = 83 + 23 + 1,

523 = 83 + 13 + 10 = 83 + 23 + 3,

541 = 83 + 33 + 2,

547 = 83 + 33 + 8,

557 = 73 + 63 – 2,

563 = 73 + 63 + 4,

569 = 73 + 63 + 10 = 83 + 43 – 7,

571 = 83 + 43 – 5,

577 = 83 + 43 + 1,

631 = 83 + 53 – 6,

641 = 83 + 53 + 4,

643 = 83 + 53 + 6,

647 = 83 + 53 + 10,

677 = 73 + 73 – 9,

683 = 73 + 73 – 3,

691 = 73 + 73 + 5,

719 = 83 + 63 – 9,

727 = 83 + 63 – 1 = 93 + 13 – 3 = 93 + 23 – 10,

733 = 83 + 63 + 5 = 93 + 13 + 3 = 93 + 23 – 4,

739 = 93 + 13 + 9 = 93 + 23 + 2,

743 = 93 + 23 + 6,

751 = 93 + 33 – 5,

757 = 93 + 33 + 1,

761 = 93 + 33 + 5,

787 = 93 + 43 – 6,

797 = 93 + 43 + 4,

853 = 83 + 73 – 2 = 93 + 53 – 1,

857 = 83 + 73 + 2 = 93 + 53 + 3,

859 = 83 + 73 + 4 = 93 + 53 + 5,

863 = 83 + 73 + 8 = 93 + 53 + 9,

937 = 93 + 63 – 8,

941 = 93 + 63 – 4,

947 = 93 + 63 + 2,

953 = 93 + 63 + 8,

991 = 103 + 13 – 10,

997 = 103 + 13 – 4.

Qui trovate i primi della forma n3 + m3 + k, per k da –10 a 10, minori di 107.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.