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Legendre (congettura di) (II)

Congetture  Teoria dei numeri 

Esaminando tabelle di numeri primi, Adrien-Marie Legendre (Parigi, 18/9/1752 – Parigi, 10/1/1833) suppose che ci sia sempre almeno un primo tra due quadrati consecutivi.

 

La congettura è una forma più debole della congettura di Brocard ed è conseguenza della congettura di Andrica, della congettura di Oppermann, della congettura di Paz o di quella ben più forte di Cramér.

 

La congettura è stata verificata sino a 1018.

 

La congettura è unanimemente ritenuta vera, ma non è stata dimostrata. Sono però stati dimostrati alcuni teoremi che ci avvicinano molto alla meta:

  • Cramér dimostrò che dall’ipotesi di Riemann segue che se p è primo, c’è sempre almeno un primo tra p e p + sqrt(p) * log(p);

  • A.E. Ingham dimostrò nel 1937 che per n abbastanza grande esiste sempre un primo tra n3 e (n + 1)3;

  • Jingrun Chen dimostrò nel 1975 che tra due quadrati consecutivi vi è sempre almeno un primo o un semiprimo;

  • H. Iwaniec e J. Pintz dimostrarono nel 1984 che vi è sempre almeno un primo tra n e n - n^(23 / 42);

  • R.C. Baker, G. Harman, G. Pintz e J. Pintz dimostrarono nel 2001 che la differenza tra un primo p e il successivo per p abbastanza grande è minore di p0.525.

 

E’ stata anche proposta una forma più forte della congettura, che afferma che esistono almeno sqrt(n) primi tra n2 e (n + 1)2 e i dati sperimentali suggeriscono versioni ancora più forti, che affermano che tra n2 e (n + 1)2:

  • vi sono almeno 3 / 2 * sqrt(n) primi per n > 23;

  • vi sono almeno 2 * sqrt(n) primi per n > 137;

  • vi sono almeno 3 * sqrt(n) primi per n > 425.

Tutte queste congetture deriverebbero dalla congettura di Cramér, se fosse dimostrata; seguirebbe anzi che per n abbastanza grande vi sarebbero almeno 2 * n / log(n)^2 primi tra n2 e (n + 1)2.

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