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Cramér (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Nella sua forma più semplice, dovuta a Andrzej Schinzel, la congettura di Cramér afferma che esiste sempre un primo tra n e n + log2n, per n > 7.

 

La congettura si basa sul cosiddetto “modello di Cramér”, consistente nel considerare che la probabilità che un numero naturale n sia primo è Probabilità che n sia primo, nel senso che Cramér dimostrò che la congettura è una conseguenza del suo modello.

Il modello sembra approssimare bene la reale distribuzione dei primi, e può essere preso come ipotesi per stime euristiche sulla densità e distribuzione dei numeri primi, ma non per dimostrazioni rigorose, perché in fondo il fatto che un numero naturale sia primo o meno non è casuale.

In effetti il teorema di Maier (Helmut Maier, 1985) dimostra che il modello è errato, almeno per quanto riguarda alcune conseguenze: il teorema garantisce infatti che per λ > 1, Limite superiore stabilito dal teorema di Maier e Limite inferiore stabilito dal teorema di Maier, quindi l’espressione non ha un limite, ma oscilla infinite volte, mentre secondo il modello di Cramér dovrebbe valere Limite asintotico secondo il modello di Cramér.

 

Nel 1931 E. Westzynthius dimostrò che Limite superiore dimostrato da Westzynthius, quindi l’intervallo tra primi consecutivi è infinite volte maggiore del logaritmo del minore di essi; la congettura di Cramér è che non cresca più velocemente del quadrato del logaritmo.

 

Cramér dimostrò che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann, la differenza pn + 1pn non cresce più velocemente di Limite superiore per la differenza di primi consecutivi.

 

La congettura è ritenuta probabilmente vera, ma molto difficile da dimostrare. Da essa deriverebbero varie congetture sulla differenza tra numeri primi consecutivi.

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