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Hermite (polinomi di)

Analisi  Polinomi 

I polinomi di Hermite Hn(x) sono polinomi ortogonali nell’intervallo (–∞ .. ∞) con funzione di peso Funzione di peso dei polinomi di Hermite, vale a dire che Formula che dimostra l'ortogonalità dei polinomi di Hermite, se nm e Formula che dimostra l'ortogonalità dei polinomi di Hermite.

 

Possono essere definiti tramite un integrale al contorno come Formula per la definizione dei polinomi di Hermite, dove il cammino circonda l’origine ed è percorso in senso antiorario, o tramite la ricorrenza H0(x) = 1, H1(x) = 2x, Hn + 1(x) = 2xHn(x) – 2nHn – 1(x) = 2xHn(x) –Hn(x)’.

In alternativa il coefficiente an, k del termine di grado k in Hn(x) può essere ricavato tramite la ricorrenza a0, 0 = 1, a1, 0 = 0, a1, 1 = 2, an + 1, 0 = –2nan – 1, 0, an + 1, k = 2an, k – 1 – 2nan – 1, k, per k > 0.

 

Hn(x) è un polinomio di grado n, a coefficienti interi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 2n.

 

Sono legati ai numeri di Hermite Hn dalla relazione Hn(0) = Hn.

 

Alcune formule per il calcolo dei polinomi di Hermite:

Formula per il calcolo dei polinomi di Hermite;

Formula per il calcolo dei polinomi di Hermite;

Formula per il calcolo dei polinomi di Hermite;

Formula per il calcolo dei polinomi di Hermite;

Formula per il calcolo dei polinomi di Hermite;

Formula per il calcolo dei polinomi di Hermite;

Formula per il calcolo dei polinomi di Hermite.

 

Altre formule che coinvolgono i polinomi di Hermite:

Hn(–x) = (–1)nHn(x);

Hn(x)’ = 2nHn – 1(x);

Formula che coinvolge polinomi di Hermite, dove 2s = a + b + c, se s è intero, sa, sb, sc, altrimenti l’integrale si annulla;

Formula che coinvolge polinomi di Hermite;

Formula che coinvolge polinomi di Hermite, per |z| ≠ 1;

Formula che coinvolge polinomi di Hermite (formula di Christoffel – Darboux);

Formula che coinvolge polinomi di Hermite;

Formula che coinvolge polinomi di Hermite;

Formula che coinvolge polinomi di Hermite, dove Hn è un numero di Hermite.

 

Al crescere di n, Hn(x) tende asintoticamente a Formula asintotica per i polinomi di Hermite e una buona approssimazione per n grande è Formula approssimata per i polinomi di Hermite.

 

La funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice dei polinomi di Hermite.

 

La figura seguente mostra parte del grafico dei primi polinomi di Hermite.

 

 Grafico dei primi polinomi di Hermite

 

 

La tabella seguente mostra i primi polinomi di Hermite.

n

Hn(x)

0

1

1

2x

2

4x2 – 2

3

8x3 – 12x

4

16x4 – 48x2 + 12

5

32x5 – 160x3 + 120x

6

64x6 – 480x4 + 720x2 – 120

7

128x7 – 1344x5 + 3360x3 – 1680x

8

256x8 – 3584x6 + 13440x4 – 13440x2 + 1680

9

512x9 – 9216x7 + 48384x5 – 80640x3 + 30240x

10

1024x10 – 23040x8 + 161280x6 – 403200x4 + 302400x2 – 30240

11

2048x11 – 56320x9 + 506880x7 – 1774080x5 + 2217600x3 – 665280x

12

4096x12 – 135168x10 + 1520640x8 – 7096320x6 + 13305600x4 – 7983360x2 + 665280

13

8192x13 – 319488x11 + 4392960x9 – 26357760x7 + 69189120x5 – 69189120x3 + 17297280x

14

16384x14 – 745472x12 + 12300288x10 – 92252160x8 + 322882560x6 – 484323840x4 + 242161920x2 – 17297280

15

32768x15 – 1720320x13 + 33546240x11 – 307507200x9 + 1383782400x7 – 2905943040x5 + 2421619200x3 – 518918400x

16

65536x16 – 3932160x14 + 89456640x12 – 984023040x10 + 5535129600x8 – 15498362880x6 + 19372953600x4 – 8302694400x2 + 518918400

17

131072x17 – 8912896x15 + 233963520x13 – 3041525760x11 + 20910489600x9 – 75277762560x7 + 131736084480x5 – 94097203200x3 + 17643225600x

18

262144x18 – 20054016x16 + 601620480x14 – 9124577280x12 + 75277762560x10 – 338749931520x8 + 790416506880x6 – 846874828800x4 + 317578060800x2 – 17643225600

19

524288x19 – 44826624x17 + 1524105216x15 – 26671841280x13 + 260050452480x11 – 1430277488640x9 + 4290832465920x7 – 6436248698880x5 + 4022655436800x3 – 670442572800x

20

1048576x20 – 99614720x18 + 3810263040x16 – 76205260800x14 + 866834841600x12 – 5721109954560x10 + 21454162329600x8 – 42908324659200x6 + 40226554368000x4 – 13408851456000x2 + 670442572800

 

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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