Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

E’ la funzione di errore, definita come l’integrale della gaussiana: Formula per la definizione della funzione erf (alcuni Autori omettono il fattore 2 / sqrt(π) nella definizione).

 

Il nome deriva dai suoi legami con la teoria degli errori: Formula per la probabilità che una misura di una variabile casuale con distribuzione gaussiana con deviazione standard σ dia un risultato entro x deviazioni standard dalla media è la probabilità che una misura di una variabile casuale con distribuzione gaussiana con deviazione standard σ dia un risultato entro x deviazioni standard dalla media.

 

Alcune formule:

erf(0) = 0;

erf(–x) = –erf(x);

Formula per il calcolo della funzione erf;

Formula per il calcolo della funzione erf;

Serie per il calcolo della funzione erf;

Formula per le derivate della funzione erf, dove Hn(x) è un polinomio di Hermite;

Formula per l'integrale della funzione erf.

 

La funzione può essere estesa ad argomenti complessi; in tal caso:

Formula per la definizione della funzione erf con argomento immaginario;

erf(z) = erf(z).

 

La figura seguente mostra parte del grafico della funzione erf(x).

 Grafico della funzione erf

La funzione erf(x) tende a –1 per x tendente a meno infinito e a 1 per x tendente a infinito.

 

La funzione d’errore complementare erfc(x) è definita come erfc(x) = 1 – erf(x).

 

La funzione soddisfa le relazioni:

erfc(0) = 1;

erfc(–x) = 2 – erfc(x);

Limiti inferiore e superiore per i valori della funzione erfc, per x > 0;

Formula per le derivate della funzione erfc, dove Hn(x) è un polinomio di Hermite;

Formula per l'integrale della funzione erfc.

 

La figura seguente mostra parte del grafico della funzione erfc(x).

 Grafico della funzione erfc

La funzione erfc(x) tende a 2 per x tendente a meno infinito e a 0 per x tendente a infinito.

 

Le due funzioni possono essere calcolate anche tramite gli sviluppi in frazione continua, per x ≥ 0:

Frazione continua per il calcolo della funzione erf;

Frazione continua per il calcolo della funzione erfc.

 

Per x grande vale l’approssimazione Approssimazione per la funzione erf, prendendo (–1)!! = 1 e utilizzando solo i primi termini della serie, (che è divergente).

Un’altra buona approssimazione per x > 0 è Approssimazione per la funzione erf, con Formula per a, che dà un errore massimo inferiore a 0.00035 ed è molto precisa per x vicino a 0 o molto grande. L’approssimazione può essere invertita, per calcolare la funzione inversa erf–1(x) come Approssimazione per la funzione inversa di erf.

 

La funzione inversa si può calcolare come Formula per la funzione inversa di erf, dove i coefficienti cn sono dati dalla ricorrenza c0 = 1, Formula per c(n).

 

Alcuni integrali che coinvolgono le funzioni:

Integrale che coinvolge la funzione erf;

Integrale che coinvolge la funzione erf;

Integrale che coinvolge la funzione erf;

Integrale che coinvolge la funzione erf;

Integrale che coinvolge la funzione erf;

Integrale che coinvolge la funzione erfc;

Integrale che coinvolge la funzione erfc;

Integrale che coinvolge la funzione erfc;

Integrale che coinvolge la funzione erf, per y > 0, p ≥ 0;

Integrale che coinvolge la funzione erf, per y > 0, p ≥ 0;

Integrale che coinvolge la funzione erf.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni del valore di x tale che erf(x) = 1 / 2.

 

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