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Birch e Swinnerton-Dyer (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Una curva ellittica è una curva corrispondente a un'equazione in due variabili, che può essere trasformata tramite sostituzioni razionali di variabili nella forma y2 = P(x), dove P(x) è un polinomio di grado 3 senza radici multiple o di grado 4 e non multiplo di quadrati.

Una curva ellittica di terzo grado può essere ridotta con trasformazioni razionali alla forma normale di Weierstrass y2 = x3 + ax + b. La definizione richiede in questo caso che la curva sia non singolare, ovvero che il discriminante –16(4a3 + 27b2) sia diverso da zero. Il grafico della curva ha due componenti separate se il discriminante è positivo e una sola se è negativo.

 

Nel 1922 Louis Mordell dimostrò che il gruppo dei punti con coordinate razionali su una curva ellittica ha un numero finito di basi, ovvero che esiste un numero finito di soluzioni razionali dell’equazione, a partire dalle quali possono essere trovate tutte le altre. Il numero di soluzioni razionali indipendenti a partire dalle quali possono essere generate infinite altre soluzioni razionali è chiamato “rango” della curva ed è una’importante proprietà invariante della curva stessa, che non dipende dalla particolare scelta delle basi.

Se il rango è zero, la curva ha un numero finito di soluzioni razionali, altrimenti ne ha infinite.

 

Si suppone che il rango possa essere arbitrariamente grande, anche se sono note solo curve con rango piccolo; la curva di massimo rango nota è y2 + xy = x3 − 26175960092705884096311701787701203903556438969515x + 51069381476131486489742177100373772089779103253890567848326 (Noam D. Elkies, 2006); sono inoltre note alcune curve il cui rango non è noto, ma è almeno 28.

 

Per quanto riguarda le soluzioni intere, invece, Carl Ludwig Siegel dimostrò che sono sempre in numero finito; per esempio, l’equazione y2 = x3 + 17 ha 16 soluzioni: (−1, ±4), (−2, ±3), (2, ±5), (4, ±9), (8, ±23), (43, ±282), (52, ±375), (5234, ±378661).

Se l’equazione è nella forma di Wierstrass e h = max(a, b), allora per le soluzioni intere vale Limite superiore per il valore assoluto delle soluzioni. Sfortunatamente questo limite superiore è talmente spaventoso da rendere impossibile la ricerca delle soluzioni esaminando tutte le possibilità.

 

Trovare il rango della curva e le soluzioni razionali è in generale molto complesso e non si conosce alcun algoritmo applicabile in ogni caso; le soluzioni modulo un numero primo si trovano invece più facilmente, dato che vi è solo un numero finito di casi da provare.

 

Approssimativamente la congettura, proposta da Brian Birch e Peter Swinnerton-Dyer nel 1965, dopo aver esaminato con l’aiuto di un calcolatore numerose soluzioni di curve ellittiche di rango noto, asserisce che una curva ellittica ha infinite soluzioni razionali se e solo se il prodotto Formula per la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, calcolato su tutti i numeri primi non superiori a x, dove Np è il numero di soluzioni intere distinte dell’equazione modulo p, tende a Clogrx al crescere di x, con C e r costanti.

L’esatta formulazione della congettura è più complessa e molto più tecnica, ma comunque il concetto di fondo è che esistono infinite soluzioni razionali se e solo se per molti primi la “densità” delle soluzioni è alta.

 

La congettura è ritenuta probabilmente vera, ma la sua dimostrazione è uno dei problemi aperti più importanti e complessi, tanto da essere stata inclusa da eminenti matematici nella lista dei 7 problemi matematici più importanti del nuovo millennio e da meritare un premio di un milione di dollari per chi riuscirà a dimostrarla.

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