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Altamente composti (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “altamente composti” i numeri naturali che hanno più divisori di tutti i numeri inferiori, ossia quelli che stabiliscono nuovi record come numero di divisori.

Per esempio, 60 è altamente composto, perché ha 12 divisori e tutti i numeri inferiori ne hanno di meno.

 

Dato che il numero dei divisori può aumentare senza limite, sono infiniti. I primi sono: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560.

 

I primi numeri altamente composti hanno lasciato una profonda impronta nella nostra cultura: con ogni probabilità il motivo per il quale i Babilonesi scelsero la base 60 per il loro sistema di numerazione fu il gran numero di divisori; pagarono un prezzo in termini di scomodità delle moltiplicazioni, per semplificare le divisioni, che a quei tempi erano operazioni terribili.

Platone suggerì che la città ideale dovesse avere 5040 abitanti (trascurando la difficoltà pratica di sincronizzare nascite e morti) e vari matematici, di molti dei quali non abbiamo più traccia, contribuirono a fissare unità di misura basate su numeri altamente abbondanti, che sono arrivate sino a noi. Oggi abbiamo gradi e ore divisi in 60 parti, l’angolo giro di 360 gradi, giorni di 24 ore, molte unità di misura non decimali suddivise in 12 unità minori (e fino al 15/2/1971 gli inglesi ebbero scellini di 12 penny e sterline di 240 penny), la stessa dozzina come unità di conteggio, perché in questo modo le divisioni per i primi interi diventavano operazioni semplici, alla portata anche di chi non andava oltre l’aritmetica più rudimentale.

 

Fu Ramanujan a studiarli per primo, introducendo il termine, in un saggio di 52 pagine pubblicato nel 1916. Il matematico indiano pubblicò anche un elenco dei primi 102 sino a 6746328388800 (nel quale mancava sfortunatamente 293318625600). L’elenco è stato ampliato negli anni, sino a comprendere oltre 750000 numeri.

 

Questi numeri hanno molti divisori, quindi non sorprende molto che tutti quelli maggiori di 6 siano abbondanti (ma nessuno è abbondante primitivo), né che i primi 19 coincidano con i primi 19 numeri superabbondanti, né che i primi 254 siano anche altamente abbondanti, tuttavia solo un numero finito di interi è sia altamente composto, sia altamente abbondante (Alaoglu e Erdös). I primi numeri altamente composti, ma non altamente abbondanti sono: 1084045767585249647898720000, 63958700287529729226024480000, 6086309919361329033148489516800, 30431549596806645165742447584000, 241271469053348685089061371928480000.

 

Gli unici che dividano tutti i successivi sono 1, 2, 6, 12, 60 e 2520 (Steven Ratering, 1991).

 

Tutti i numeri altamente composti sono pratici (Srinivasen, 1948).

 

Se un intero è altamente composto, gli esponenti dei suoi fattori primi sono ordinati e non crescenti, vale a dire che se Scomposizione di n in fattori primi e pk < pk + 1, allora ekek + 1. Nessun primo può essere saltato, cioè non comparire nella scomposizione, se compaiono primi maggiori; quindi un numero altamente composto è il prodotto di primoriali.

Ramanujan dimostrò che, con l’eccezione di 4 e 36, l’esponente del massimo fattore primo di un numero altamente composto è 1 pertanto nessun altro è un quadrato o una potenza superiore. L’esponente del terzultimo primo non può superare 4.

Sempre Ramanujan dimostrò che il rapporto tra due successivi interi altamente composti tende a 1.

 

Non esiste una formula che dia i numeri altamente composti, tuttavia esiste un modo semplice per trovare quelli con 2n divisori: basta scrivere in ordine crescente i numeri primi e le loro potenze con esponente pari e moltiplicare i primi n numeri della sequenza. Per esempio per n = 4, bisogna moltiplicare i primi 4 numeri della sequenza 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, ottenendo 120, che è il minimo intero con 24 = 16 divisori.

Non tutti i numeri altamente composti hanno un numero di fattori primi superiore a quello dei numeri inferiori: la minima eccezione è 60 = 22 • 3 • 5, che ha meno fattori di 48 = 24 • 3. Lo stesso vale per i fattori primi distinti: la minima eccezione è 45360 = 24 • 34 • 5 • 7, che ha meno fattori primi differenti di 27720 = 23 • 32 • 5 • 7 • 11.

 

Leonidas Alaoglu e Paul Erdös dimostrarono nel 1944 che n è altamente composto se e solo se esiste un numero positivo s tale che per ogni r reale, con 0 < r < s, per ogni intero m tale che 0 < m < n vale Condizione soddisfatta dai numeri altamente composti.

 

Alaoglu ed Erdös dimostrarono nel 1944 che il numero A(n) di interi altamente composti non maggiori di n cresce almeno come log1 + c1n, per una costante c1 maggiore di zero, mentre Jean-Louis Nicolas dimostrò nel 1988 che non superano locc2n, per un’altra costante c2. Inoltre Limiti inferiore e superiore per il limite di log(A(n) / log(log(n)) per n tendente a infinito e Limite superiore per il limite di log(A(n) / log(log(n)) per n tendente a infinito.

 

Se si considerano invece i numeri naturali con un numero di divisori maggiore o uguale a quello dei numeri naturali inferiori, allora per il numero B(n) di tali numeri non maggiori di n vale logan ≤ logB(n) ≤ vale logbn , per due costanti a e b, con 0.2 ≤ a ≤ b ≤ 0.5.

 

La tabella seguente riporta i minimi numeri altamente composti con almeno 10n divisori, per n fino a 15 (A. Flammenkamp, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Minimo intero con almeno 10n divisori

Numero di divisori

0

1

1

1

48

10

2

45360

100

3

245044800

1008

4

6746328388800

10080

5

897612484786617600

103680

6

278914005382139703576000

1032192

7

195074035876965674139374664000

10321920

8

258649763677471002966105652563888000

100663296

9

474386058264023040500951689662949694304000

1019215872

10

2054221614063184107682218077003539824552559296000

10192158720

11

12193409505709015492753587176850732328996542938066688000

101468602368

12

97424357332797447784100121690872820612046811604310588234944000

1014686023680

13

1382162767332904039623700869932671886571829537868760466159738751040000

10146860236800

14

27061117506619760090829615998202789581100279935900485183402113490691640576000

100192997081088

15

699731357565957582461821800044648730439873527927150321103135062469317108153688320000

1001929970810880

 

I numeri altamente composti noti con un numero di divisori pure altamente composto sono:

1, con 1 divisore;

2, con 2 divisori;

6, con 4 divisori;

12, con 6 divisori;

60, con 12 divisori;

360, con 24 divisori;

1260, con 36 divisori;

2520, con 48 divisori;

5040, con 60 divisori;

55440, con 120 divisori;

277200, con 180 divisori;

720720, con 240 divisori;

3603600, con 360 divisori;

61261200, con 720 divisori;

2205403200, con 1680 divisori;

293318625600, con 5040 divisori;

6746328388800, con 10080 divisori;

195643523275200, con 20160 divisori.

Con ogni probabilità non ne esistono altri.

 

Molti numeri altamente composti sono numeri harshad in base 10, ma non tutti: il minimo numero altamente composto che non è un numeri harshad è 245044800.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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