Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Bateman e Stemmler (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Proposta da Paul T. Bateman e Rosemarie M. Stemmler nel 1962; è un caso particolare della congettura di Bateman – Horn.

 

Bateman e Stemmler esaminarono i primi uguali a somme di potenze di un primo, con esponenti in progressione aritmetica, ossia i primi della forma Numero uguale a somma di potenze di un primo con esponenti in progressione aritmetica con p primo; d deve naturalmente essere un divisore di r, perché il risultato sia un intero.

I due dimostrarono nel 1962 che il numero di primi minori di n di tale forma cresce asintoticamente non più di Limite superiore alla crescita asintotica del numero di primi uguali a somma di potenze di un primo con esponenti in progressione aritmetica e che il numero di primi p minori di n tali che Somma di potenze di p con esponenti in progressione aritmetica sia primo cresce asintonticamente non più di Limite superiore alla crescita asintotica del numero di primi tali che una somma delle loro potenze con esponenti in progressione aritmetica sia un primo, dove Formula per la definizione di C(r) e Formula per la definizione di f(r)

In particolare Formula per la definizione di C(3).

 

I due matematici suggerirono che il numero di primi minori di n della forma sopra descritta tende a Limite asintotico per il numero di primi minori di n uguali a somma di potenze di un primo con esponenti in progressione aritmetica e il numero di primi p tali che p2 + p + 1 sia primo tende a Limite asintotico per il numero di primi p minori di n tali che p^2 + p + 1 sia primo.

Questo significa che in pratica i primi della forma descritta sono in gran parte della forma p2 + p + 1, le altre forme di somme di potenze contribuendo solo in minima parte al totale.

 

Le tabelle seguenti mostrano l’accordo con le previsioni.

n

 Limite asintotico per il numero di primi minori di n uguali a somma di potenze di un primo con esponenti in progressione aritmetica

Primi della forma Somma di potenze di p con esponenti in progressione aritmetica inferiori a 10n

1

1.0662354689

3

2

2.7869607539

8

3

4.7025742165

12

4

7.8001248212

19

5

13.7498849614

28

6

26.3906725093

44

7

55.0962196675

76

8

123.4438036533

146

9

292.0497832370

318

10

719.5960958095

744

 

n

 Limite asintotico per il numero di primi p minori di n tali che p^2 + p + 1 sia primo

Primi p inferiori a 10n tali che p2 + p + 1 sia primo

1

2.7869607539

3

2

7.8001248212

8

3

26.3906725093

23

4

123.4438036533

117

5

719.5960958095

706

6

4753.1099875699

4683

7

33858.1894714191

33645

8

253771.7054446276

253236

9

1973909.7721290057

 1973982

 Nella prima tabella 31, esprimibile come somma di potenze consecutive di primi in due modi diversi (v. congettura di Bateman), è contato due volte.

 

I primi della forma Somma di potenze di p con esponenti in progressione aritmetica inferiori a 10000 sono: 3, 5, 7, 13, 17, 31, 73, 127, 257, 307, 757, 1093, 1723, 2801, 3541, 5113, 8011, 8191.

 

Tutti i primi di Mersenne e Fermat rientrano in questa categoria.

 

La tabella seguente riporta i primi di questa forma minori di 415000000 con r diverso da 3.

Primo

p

r

d

3

2

2

1

5

2

4

2

17

2

8

4

31

2

5

1

73

2

9

3

127

2

7

1

257

2

16

8

757

3

9

3

1093

3

7

1

2801

7

5

1

8191

2

13

1

19531

5

7

1

30941

13

5

1

65537

2

32

16

88741

17

5

1

131071

2

17

1

262657

2

27

9

292561

23

5

1

524287

2

19

1

732541

29

5

1

797161

3

13

1

1772893

11

9

3

3500201

43

5

1

5229043

13

7

1

12207031

5

11

1

25646167

17

7

1

28792661

73

5

1

39449441

79

5

1

48037081

83

5

1

262209281

127

5

1

305175781

5

13

1

917087137

31 7 1

 

I primi tali che p2 + p + 1 sia primo maggiori di 3 sono tutti della forma 6n + 5.

 

I primi p inferiori a 1000 tali che p2 + p + 1 sia primo sono: 2, 3, 5, 17, 41, 59, 71, 89, 101, 131, 167, 173, 293, 383, 677, 701, 743, 761, 773, 827, 839, 857, 911.

Qui trovate tutti quelli inferiori a 108 (3.5 Mbyte).

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.