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Bunyakovsky (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura proposta nel 1857 dal matematico ucraino Viktor Bunyakovsky (Bar, Ucraina, 16/12/1804 – S. Pietroburgo, 12/12/1889) afferma che un polinomio irriducibile a coefficienti interi P(n), tale che il coefficiente del termine di grado massimo sia positivo e non esista un primo che divida tutti i valori assunti dal polinomio al variare di n, esistono infiniti valori interi positivi di n che lo rendono primo. E’ quindi una forma debole della congettura di Bateman – Horn e dell’ipotesi di Schinzel, che generalizzano la congettura di Bunyakovsky al caso di più polinomi.

Le tre condizioni sono ovviamente necessarie perché il polinomio possa generare infiniti primi:

  • se il polinomio è riducibile, ossia esprimibile come prodotto di polinomi, chiaramente anche gli interi prodotti saranno il prodotto di altri interi e saranno primi solo in un numero finito di casi; per esempio, il polinomio n2 – 1 = (n + 1)(n – 1) genera primi solo per n = 2, perché per valori superiori i numeri prodotti hanno almeno due fattori;

  • se il coefficiente del termine di grado massimo è negativo, il polinomio può produrre solo un numero finito di interi positivi;

  • la terza condizione esclude polinomi come 3n2 + n + 2, che è irriducibile, ma produce solo valori pari e quindi un solo primo (per n = 0).

La congettura di Bunyakovsky è che queste condizioni siano sufficienti.

La terza condizione sembra difficile da verificare, ma esiste un metodo semplice: esprimere il polinomio come combinazione lineare di coefficienti binomiali Coefficiente binomiale C(n, k), dove ogni valore di k compare una sola volta; se i coefficienti risultanti hanno un divisore comune maggiore di 1, allora tutti gli interi generati dal polinomio sono divisibili per tale numero.

In pratica, si esprime il termine di grado massimo come coefficiente binomiale, si sottrae il risultato, riducendo il grado del polinomio restante e si procede fino ad aver espresso l’intero polinomio.

Per esempio, dato il polinomio P(n) = 3n2 + n + 2, per eliminare il termine di secondo grado bisogna sottrarre Sei volte il coefficiente binomiale C(n, 2), quindi Polinomio parzialmente espresso come combinazione lineare di coefficienti binomiali; il termine di primo grado si può ora esprimere come Quattro volte il coefficiente binomiale C(n, 1), quindi Polinomio espresso come combinazione lineare di coefficienti binomiali e dato che il massimo comun divisore dei coefficienti è 2, tutti gli interi generati dal polinomio saranno multipli di 2.

 

Con opportune sostituzioni, si può applicare la congetture anche a polinomi con coefficienti razionali. Per esempio, nel caso del polinomio Polinomio che ha come valori i numeri triangolari centrati, che ha per valori i numeri triangolari centrati, con le sostituzioni n = 2m e n = 2m + 1 si ottengono i polinomi 6m2 – 3m +1 e 6m2 – 3m +1, ciascuno dei quali secondo la congettura dovrebbe avere infiniti valori primi.

 

La congettura è stata dimostrata per i polinomi di primo grado (teorema di Dirichlet), ma non è stato dimostrato che esista anche un solo polinomio di grado maggiore di uno che produca infiniti primi.

Non è neppure stato dimostrato che un polinomio che rispetti le condizioni della congettura debba necessariamente produrre almeno un primo; non si conoscono eccezioni, ma sono noti polinomi che non producono primi fino a valori di n grandi. Per esempio, il polinomio n12 + 499669 produce il minimo primo per n = 616980.

Il teorema di Bauer però garantisce che il valori assunti per n intero da un polinomio p(n) che abbia almeno almeno una radice reale sono divisibili per infiniti primi non della forma km + 1, per qualsiasi intero m maggiore di 1. Quindi qualsiasi polinomio del genere, e in particolare qualsiasi polinomio di grado dispari, produce interi divisibili per infiniti primi; sfortunatamente però il teorema non garanisce che tali interi siano primi.

 

Tra i casi particolari della congettura di Bunyakovsky, alcuni sono stati proposti come congetture indipendenti; in particolare vari matematici hanno supposto l’esistenza di infiniti primi delle seguenti forme:

 

Un primo passo importante verso la dimostrazione della congettura fu compiuto da Sierpiński, che nel 1964 dimostrò che non vi sono limiti al valore del numero di primi generati al variare di n dal polinomio n2 + k, vale a dire che tra i polinomi di questa forma ve ne sono alcuni che generano un numero di primi grande a piacere, anche se non necessariamente infinito; in particolare, fissato m esiste un intero k tale che esistono almeno m primi della forma n2 + k.

B. Garrison estese nel 1990 la dimostrazione a polinomi della forma nm + k, con m qualsiasi.

 

Nel 1978 Henryk Iwaniec compì un grande passo avanti sulla congettura per i polinomi di secondo grado, dimostrando che ogni polinomio ax2 + bx + c irriducibile (ossia tale che b2 – 4ac non sia un quadrato) con a > 0 e c dispari e senza un divisore comune a a, b e c, produce infiniti numeri che sono primi o semiprimi. Più precisamente ha dimostrato che per n abbastanza grande, i primi o semiprimi minori di n di tale forma sono almeno Minimo numero di primi o semiprimi minori di n.

Il risultato vale in particolare per i primi quattro casi della lista precedente.

 

Shanks nel 1959 trovò un modo per rendere più veloce il calcolo del prodotto che compare nella dimostrazione di Iwaniec: Minimo numero di primi o semiprimi minori di n.

 

Da notare che una piccolissima modifica a uno questo prodotti infiniti può renderlo facilmente esprimibile in termini di costante note; per esempio Prodotto esprmibile in termini di costanti note.

 

Nel senso opposto, B. Garrison dimostrò nel 1981 che il polinomio n2 + 1 produce sequenze lunghe a piacere di numeri composti.

 

Inoltre si verifica facilmente che per p primo maggiore di 3, sono composti p2 – 1 (multiplo di 6), p2 + 1 (pari), p2 + 1 (multiplo di 3) e p2 + 3 (pari).

 

Per contro con polinomi in due variabili la situazione è migliore, perché sono noti polinomi che generano infiniti primi:

  • il primo progresso in questa ricerca fu compiuto da Dirichlet, che dimostrò che il polinomio am2 + 2bmn + cn2 genera infiniti primi se a, 2b e c non hanno fattori comuni;

  • Eulero dimostrò l’esistenza di infiniti primi della forma n2 + km2, se k è un numero idoneo; in particolare, esistono infiniti primi della forma n2 + m2 e n2 + 2m2;

  • B.M. Bredihin dimostrò nel 1965 che esistono infiniti primi della forma n2 + m2 + 1 (v. primi uguali a somme di potenze);

  • Etienne Fouvry e Henryk Iwaniec dimostrarono che esistono infiniti primi della forma p2 + m2 con p primo;

  • Henryk Iwaniec e John Friedlander dimostrarono nel 1997 l’esistenza di infiniti primi della forma n2 + m4 (v. primi uguali a somme di potenze);

  • D.R Heath-Brown dimostrò nel 2001 l’esistenza di infiniti primi della forma n3 + 2m3; Hardy e Littlewood avevano congetturato l’esistenza di infiniti primi uguali alla somma di tre cubi (v. congetture di Hardy e Littlewood sui numeri primi) e la congettura è stata quindi dimostrata vera; resta aperta la congettura dell’esistenza di infiniti primi uguali alla somma di tre cubi distinti (v. primi uguali a somme di potenze).

 

Anche per i polinomi a due variabili non esiste però un teorema generale che assicuri che possono produrre infiniti primi se soddisfano qualche condizione e vi sono varie congetture tuttora aperte:

n4 + 1, per con n pari (v. costante di Shanks, primi vicini a potenze).

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