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Rappresentazione dei numeri naturali come somme (congetture sulla)

Congetture  Rappresentazione dei numeri  Teoria dei numeri  Vari 

Vi sono numerose congetture sulla possibilità di rappresentare i numeri naturali come somma di un numero finito di interi di varie categorie e sul numero di tali rappresentazioni; pochissime sono state dimostrate o confutate.

Le congetture più famose hanno un nome:

 

Altre congetture non hanno un nome; alcune riguardano tutti gli interi:

  • per ogni intero positivo n, esiste almeno un intero che può essere rappresentato come somma di 2 numeri fortunati in n modi differenti (v. numeri fortunati);

  • per ogni intero positivo n, esiste almeno un intero che può essere rappresentato come somma di 2 numeri primi in n modi differenti;

  • ogni intero pari abbastanza grande si può esprimere come somma di 4 cubi di primi (v. cubi);

  • per ogni coppia di interi positivi a e b, ogni numero pari si può esprimere come apn + 1 – (a + b)pn + bpn – 1;

  • ogni intero positivo di può esprimere come somma di una potenza e un primo, eventualmente nulli (v. numeri primi);

  • nessuna potenza n-esima può essere espressa come somma di meno di n – 1 potenze n-esime; è un caso particolare della congettura di Lander, Parkin e Selfridge;

  • ogni intero abbastanza grande si può rappresentare come x2 + y2 + 125z2, (Heath-Brown) (v. numeri potenti (I)).

 

Alcune congetture riguardano numeri di forme particolari:

  • ogni intero pari si può esprimere come somma di 2 numeri fortunati (v. numeri fortunati);

  • ogni intero pari abbastanza grande si può esprimere come somma di 4 cubi di primi (v. cubi);

  • per ogni intero positivo a quadrato, tutti i numeri naturali abbastanza grandi e primi rispetto ad a possono essere rappresentati come p + ax2 con p primo e x intero; è una generalizzazione della congettura H di Hardy e Littlewood sui numeri primi;

  • ogni intero pari può essere espresso come somma di due numeri pratici (Margenstern, 1991); dimostrata vera da Giuseppe Melfi (v. numeri pratici).

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