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Altamente abbondanti (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “altamente abbondanti” i numeri naturali per i quali la somma dei divisori è maggiore rispetto a tutti i numeri inferiori, ossia quelli che stabiliscono nuovi record come somma di divisori.

Per esempio, 10 è altamente abbondante, perché la somma dei suoi divisori è 1 + 2 + 5 + 10 = 18 e tutti i numeri inferiori hanno somma dei divisori minore.

 

Dato che la somma dei divisori può aumentare senza limite, sono infiniti. I primi sono: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 144, 168, 180, 210, 216, 240, 288, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 720, 840, 960. Qui trovate i primi 10000.

 

Leonidas Alaoglu e Paul Erdös nel 1944 dimostrarono che:

  • i numeri altamente abbondanti minori di x sono più di (1 – ε)log2x, per ogni ε > 0;

  • se n è altamente abbondante, il suo massimo fattore primo è minore di clognlog3logn, per una costante c;

  • se n è altamente abbondante e maggiore di 216, il suo massimo fattore primo compare nella scomposizione elevato a una potenza minore della terza;

  • l’unico numero altamente abbondante che sia multiplo di una quarta potenza è 16;

  • nessun numero altamente abbondante è multiplo di una potenza con esponente maggiore di 4;

  • il massimo numero altamente abbondante e potente (I) è 7200.

 

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