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Fortune (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

L’antropologo neozelandese Reo Franklin Fortune (1903 – 1979) notò che se q(p) è il minimo numero primo maggiore di p# + 1, q(p) – p# è primo, almeno per i valori più piccoli di p e avanzò nel 1980 la congettura che lo sia sempre.

Una formulazione leggermente più debole è che se q(p) è il minimo numero primo maggiore di p#, q(p) – p# è uno o primo.

 

In seguito altri esaminarono il massimo primo r(p) minore di p# – 1 e avanzarono la congettura che anche questo sia primo, congettura nota anche come “congettura di Banderier” o “congettura Carpenter”.

Anche in questo caso esiste una versione leggermente più debole, che afferma che se r(p) è il minimo numero primo minore di p#, p# – r(p) è uno o primo.

 

La congettura è stata verificata in entrambe le forme per i primi 2000 valori di p, senza trovare alcuna eccezione.

 

Le congetture sembrano sorprendenti, ma in realtà sono una conseguenza di una forma appena più forte della congettura di Cramér: un controesempio, infatti, implicherebbe che la differenza tra un primo p e il precedente (o successivo) sia appena di poco inferiore a log2p.

La differenza tra p# e il primo più vicino (superiore o inferiore) non può essere multipla dei primi fino a p e quindi se non è maggiore di p2, deve essere 1 o un numero primo.

Nel 1975 Rosser e Schoenfeld dimostrarono che log(p#) < 1.001102p, quindi per essere maggiore di p2, la differenza dovrebbe essere maggiore di Minimo valore della differenza per un controesempio alla congettura di Fortune.

Secondo la succitata congettura la differenza tra due primi successivi dovrebbe essere inferiore a clog2(p#) con c = 1; se la costante c fosse appena minore di 1, la congettura di Fortune e quella di Banderier sarebbero automaticamente verificate.

E’ anche possibile che la congettura di Cramér valga solo per primi abbastanza grandi e che la congettura di Fortune abbia un numero finito di controesempi.

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