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Approssimazioni razionali (congettura delle)

Analisi  Congetture 

La congettura delle approssimazioni razionali nasce dalla ricerca di approssimazioni di funzioni tramire quozienti di polinomi.

Nel caso particolare della funzione ex sulla semiretta [ 0 .. ∞ ), A. Schönhage dimostrò nel 1973 che se Q(x) è un polinomio di grado non superiore a n, Limite asintotico dell'errore massimo della migliore approssimazione come reciproco di un polinomio alla funzione exp(-x). Dato che utilizzando un polinomio di grado n anche a numeratore si raddoppiano i coefficienti a disposizione, sembrava ragionevole che se P(x) e Q(x) sono polinomi di grado non superiore a n, Supposto limite asintotico dell'errore massimo della migliore approssimazione come quoziente di polinomi alla funzione exp(-x), ipotesi che divenne nota come “congettura delle approssimazioni razionali”.

 

Fu dimostrata falsa per via numerica nel 1981 da N. Trefethen, che calcolò che il reciproco della costante, ossia la costante di Varga, è circa 9.28903.

Nel 1984 da A.J. Carpenter, A. Ruttan e R.S. Varga, calcolarono i valori per n sino a 30 con 200 cifre di precisione, ottenendo una stima della costante pari a circa 0.1076539192 (v. costante “un nono”).

Nel 1986 Gonchar e Rakhmanov dimostrarono che il limite esiste ed è minore di Un nono.

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