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Primi (congetture sui numeri)

Congetture  Teoria dei numeri 

Vi è un gran numero di congetture sui numeri primi; le più famose hanno un nome e si possono grossolanamente suddividere in cinque categorie.

 

La prima categoria comprende le congetture sulla distribuzione dei numeri primi; le più note sono:

 

La seconda categoria comprende le congetture su metodi per stabilire se un numero sia primo; le più note sono:

 

La terza categoria comprende le congetture su funzioni che generano numeri primi; le più note sono:

 

La quarta categoria comprende congetture sulla possibilità di rappresentare gli interi come somme di numeri primi ed eventualmente numeri di altre categorie; le più note sono:

 

La quinta categoria comprende le restanti congetture; le più note sono:

 

Vi sono poi numerosissime altre congetture sui numeri primi che non hanno nome; riporto le principali.

  • Considerando le differenze tra i numeri primi consecutivi non superiori a n, al variare di n la differenza più frequente può assumere solo i valori 1 (una sola volta, tra 3 e 2), 4 e i primoriali.

  • Il numero di primi della forma k4 + 1 minori di n tende, per n tendente a infinito, a 4 * K * n^(1 / 4) / log(n), dove K è la costante di Shanks; è un caso particolare della congettura di Bateman – Horn e di una congettura di Hardy e Littlewood sui numeri primi.

  • Fissati a, b e c, interi positivi e primi tra loro, esistono infinite soluzioni dell’equazione axby + c = 0, con x e y primi. E’ una generalizzazione della congettura di de Polignac (II), che corrisponde al caso a = b = 1 e c pari.

  • La somma Somma infinita supposta convergente converge.

  • La frazione di primi regolari tende a 1 / sqrt(e) (v. congettura di Siegel).

  • Per ogni coppia di interi positivi a e b, ogni numero pari si può esprimere come apn + 1 – (a + b)pn + bpn – 1.

  • Per ogni intero positivo a quadrato, tutti i numeri naturali abbastanza grandi e primi rispetto ad a possono essere rappresentati come p + ax2 con p primo e x intero; è una generalizzazione della congettura H di Hardy e Littlewood sui numeri primi.

  • Per ogni intero n fissato esiste un intero k tale che il polinomio x2 + x + k produca numeri primi per x da 0 a n. Per n = 41 però sono stati esaminati tutti i valori di k fino a 1018, senza trovarne uno valido, quindi se la congettura è vera, k cresce in modo estremamente rapido all’aumentare di n.

 

Oltre a queste vi sono alcune congetture sui primi gemelli.

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