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Connettiva del reticolo (costante)

Matematica combinatoria 

Definiamo cd(n) come il numero di cammini distinti di n passi che, partendo da un punto fissato, non passino due volte sullo stesso punto in un reticolo a d dimensioni.

 

I primi valori per un reticolo cubico sono relativamente facili da calcolare:

  • cd(0) = 1;

  • cd(1) = 2d;

  • cd(2) = 2d(2d – 1);

  • cd(3) = 2d(2d – 1)2;

  • cd(4) = 2d(2d – 1)3 – 2d(2d – 2).

Al crescere di n però contare i cammini diventa piuttosto difficile, tranne che in una dimensione, perché c1(n) = 2 per n > 0.

 

Il numero cd(n) soddisfa le relazioni dncd(n) ≤ 2d(2d – 1)n – 1.

 

Per qualsiasi tipo di reticolo vale inoltre cd(n + m) ≤ cd(n)cd(m).

 

Per i reticoli cubici a d dimensioni vale Formula per la definizione della costante connettiva del reticolo a d dimensioni, ma i valori di μd, detta “costante connettiva del reticolo a d dimensioni”, non sono noti con precisione. I migliori limiti noti sono:

  • 2.62002 ≤ μ2 ≤ 2.679192495;

  • 4.572140 ≤ μ3 ≤ 4.7476;

  • 6.742945 ≤ μ4 ≤ 6.8179;

  • 8.828529 ≤ μ5 ≤ 8.8602;

  • 10.874038 ≤ μ6 ≤ 10.8886.

 

E’ stato dimostrato che esiste una costante C tale che:

  • Limite superiore per c2(n),

  • Limite superiore per c3(n),

  • Limite superiore per c4(n).

Si ritiene che esistano finiti i limiti Limite valido tranne che in 4 dimensioni per d ≠ 4 e Limite valido in 4 dimensioni per d = 4, è stato dimostrato che γd = 1 per d > 4 mentre per d ≤ 4 i valori ritenuti corretti, ma non dimostrati tali, sono:

  • γ(2) = 43 / 32;

  • γ3 ≈ 1.162;

  • γ4 = 1.

 

Per i reticoli triangolari piani vale Limite superiore per il valore della costante connettiva del reticolo triangolare (S.E. Alm, 1993).

 

Per i reticoli esagonali nel 1982 B. Nienhuis propose, sulla base di argomenti fisici, che il numero crescesse come Formula per al crescita asintotica del numero di cammini su un reticolo esagonale, per una costante K, e nel 2010 Hugo Duminil-Copin e Stanislav Smirnov provarono che Formula per il valore della costante connettiva del reticolo dell'alveare, valore che si chiama “costante connettiva del reticolo dell’alveare”.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante.

Alle voci frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante connettiva del reticolo dell’alveare.

 

Per i reticoli esagonali valgono le relazioni Relazioni valide per i numeri di cammini su reticoli esagonali.

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