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Erdös – Woods (numeri di)

Teoria dei numeri 

Un numero naturale n è detto “numero di Erdös – Woods” se esiste un intero k, tale che tutti gli interi da k a k + n abbiano un fattore primo in comune con k o con k + n, ovvero se per tutti gli interi m da k a k + n almeno uno tra MCD(m, k) e MCD(m, k + n) è maggiore di 1. Sia k, che k + n sono necessariamente composti.

Per esempio, 16 è un numero di Erdös – Woods perché ogni intero da 2184 a 2200 ha almeno un fattore primo in comune con 2184 o con 2200.

 

Le ricerche su questi interi furono stimolate da una congettura di Erdös, secondo la quale esiste un intero positivo n, tale che ogni intero k è unicamente determinato dall’elenco dei fattori primi dei numeri da k a k + n. (v. congettura di Erdös – Woods).

Alan R. Woods esaminando la questione suppose che, fissato n, ogni intervallo da k a k + n dovesse contenere almeno un intero primo rispetto a entrambi gli estremi. Solo in seguito trovò l’eccezione k = 2184 per n = 16.

 

David L. Dowe dimostrò nel 1989 che sono infiniti, mentre è facile dimostrare che esistono infiniti interi non di Erdös – Woods, perché se n è un numero di Erdös – Woods, n – 1 ha almeno due fattori primi distinti (ovvero, non è primo né potenza di primo).

 

Il minimo numero di Erdös – Woods è 16, il minimo non multiplo di un quadrato è 22 e il minimo dispari è 903.

 

La tabella seguente mostra i primi numeri di Erdös – Woods, con il corrispondente valore di k (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

k

16

2184

22

3521210

34

47563752566

36

12913165320

46

3180417880379694

56

2212091405535117414

64

3843095117044776029646

66

3615758618744894508744

70

13151117479433859435440

 

Qui trovate i primi 1055 numeri di Erdös – Woods (Nik Lygeros).

 

Dowe suppose nel 1989 che i numeri di Erdös – Woods siano tutti pari, come pure i valori di k associati; la prima parte è stata dimostrata falsa, mentre la seconda resta un problema aperto.

 

Vserminov suppose nel 2000 che ogni quadrato pari maggiore di 16 sia un numero di Erdös – Woods; la congettura fu dimostrata falsa dai controesempi 262 e 342, che non sono numeri di Erdös – Woods.

Se n + 1 e n2n – 1 sono primi, n2 è un numero di Erdös – Woods; la condizione è sufficiente, ma non necessaria: 64 = 82 è un numero di Erdös – Woods, ma 8 + 1 = 9 e 82 – 8 – 1 = 55 non sono primi. La condizione non basta ad assicurare l’esistenza di infiniti quadrati tra i numeri di Erdös – Woods, perché non è stato dimostrato che i esistano infiniti valori di n che soddisfino i requisiti, anche se è molto probabile (v. congettura di Bateman – Horn).

 

Alcuni esperti suppongono che esistano progressioni aritmetiche di lunghezza arbitraria di numeri di Erdös – Woods, con differenza 2 tra termini consecutivi.

 

Un problema analogo è l’esistenza di coppie di interi distinti m e n tali che m abbia gli stessi divisori primi di n + 1 e m + 1 abbia gli stessi divisori primi di n. Una soluzione generale è data dalle coppie della forma (2k + 1, 2k(2k + 2)); oltre a questa si conosce solo la soluzione (35, 4734).

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