Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Quattro esponenziali (congettura dei)

Algebra  Congetture 

La congettura detta “dei quattro esponenziali” afferma che dati due insiemi di numeri (x1, x2) e (y1, y2), razionalmente indipendenti (ossia tali che uno dei due numeri dell’insieme non possa essere ottenuto moltiplicando l’altro per un numero razionale), almeno uno dei numeri ex1y1, ex1y2, ex2y1, ex2y2 è trascendente.

 

Se uno dei due insiemi ha 3 elementi, l’affermazione equivalente è il teorema dei 6 esponenziali (v. numeri trascendenti).

 

La congettura fu considerata all’inizio degli anni ’40 da Atle Selberg (Langesund, Norvegia, 14/6/1917 – Princeton, USA, 6/8/2007), che non la formulò esplicitamente. Un caso particolare fu menzionato da Leonidas Alaoglu (Red Deer, Canada 19/3/1914 – 8/1981) e Paul ErdÅ‘s, che lo attribuirono a Carl Ludwig Siegel (Berlino, 31/12/1896 – Göttingen, Germania, 4/4/1981). La prima menzione esplicita si deve a Theodor Schneider (Francoforte sul Meno, Germania, 7/5/1911 – Freiburg im Breisgau, Germania, 31/10/1988) che la citò nel 1957 tra i problemi aperti nella teoria dei numeri trascendenti.

 

Nel 2004 G. Diaz dimostrò un caso particolare della congettura, con le condizioni aggiuntive che x1 e x2 siano reali o immaginari puri e che y1, y2y2 siano razionalmente indipendenti.

 

Un modo equivalente di formulare la congettura è che se nella matrice Definizione di una matrice per la congettura dei quattro esponenziali le righe e le colonne sono razionalmente indipendenti (ossa una non può essere ottenuta moltiplicando l’altra per un numero razionale) e i 4 numeri contenuti nella matrice sono logaritmi di numeri algebrici, allora il determinante non è nullo.

La precisazione i numeri siano logaritmi di numerialgebrici è fondamentale; per esempio, nella matrice Matrice con determinante nullo righe e colonne sono razionalmente indipendenti (non linearmente indipendenti, perché una si ottiene moltiplicando o dividendo l’altra per π), ma il determinante è nullo.

 

Una conseguenza inattesa della congettura è che se esiste un numero reale x tale che 2x e 3x siano entrambi interi, allora x è intero.

Infatti, per x1 = 1, x2 = x, y1 = log2, y2 = log3, abbiamo i quattro numeri interi 2, 3, 2x, 3x, e siccome log2 e log3 sono razionalmente indipendenti, x dev’essere razionalmente dipendente da 1, ossia razionale; però 2x è intero con x razionale solo se x è intero.

Una dimostrazione analoga varrebbe per qualsiasi coppia di interi, non entrambi potenze di uno stesso intero; x potrebbe essere razionale solo se i due numeri fossero potenze.

 

La congettura implica la congettura di Alaoglu e Erdös.

 

Una versione più forte della congettura afferma che dati due insiemi di numeri (x1, x2) e (y1, y2), razionalmente indipendenti e 4 numeri algebrici β1, 1, β1, 2, β2, 1, β2, 2, se i 4 numeri ex1y1 – β1, 1, ex1y2 – β1, 2, ex2y1 – β2, 1, ex2y2 – β2, 2 sono algebrici, allora x1y1 = β1, 1, x1y2 = β1, 2, x2y1 = β2, 1, x2y2 = β2, 2, ossia i 4 esponenti sono nulli.

Questa forma implica la corrispondente forma della congettura dei cinque esponenziali.

L’affermazione equivalente nel caso di 6 esponenziali è stata dimostrata (v. numeri trascendenti).

 

Una versione ancora più forte, proposta da D. Roy nel 1992 e nota anche come “forma forte” della congettura, dalla quale seguirebbero le altre due, afferma che dati due insiemi di numeri (x1, x2) e (y1, y2), razionalmente indipendenti, almeno uno dei numeri x1y1, x1y2, x2y1, x2y2 non è esprimibile come combinazione razionale di numeri algebrici e logaritmi di numeri algebrici, cioè come Combinazione razionale di numeri algebrici e logaritmi di numeri algebrici, con i vari αk e βk algebrici, anche complessi.

 

Nel 2009 Michel Waldschmidt dimostrò che dalla forma forte derivano alcune conseguenze; chiamando L l’insieme dei numeri esprimibili come combinazione razionale di numeri algebrici e logaritmi di numeri algebrici (insieme che comprende in particolare tutti i numeri algebrici):

  • se x è trascendente e x ∈ L, 1 / x non appartiene a L;

  • se x e y appartengono a L e xy / x sono trascendenti, y / x non appartiene a L;

  • se x e y appartengono a L e sono trascendenti, xy ∉ L;

  • se x e y e z appartengono a L, z non è nullo e x / zy / z sono trascendenti, xy / z;

  • nella versione matriciale della congettura λ(1, 2) – λ(1, 1) * λ(2, 2) / λ(2, 1), 1 – λ(1, 1) * λ(2, 2) / (λ(1, 2) * λ(2, 1)), λ(1, 2) / λ(1, 1) – λ(2, 2) / λ(2, 1), λ(1, 2) / λ(1, 1) – λ(2, 2), λ1, 1λ2, 2 – λ1, 2 e λ1, 1λ2, 2 – λ1, 2λ1, 2 sono trascendenti.

 

Le prime due forme della congettura implicherebbero le corrispondenti forme della congettura dei tre esponenziali, mentre la forma forte non è conseguenza della forma forte della congettura dei tre esponenziali, né la implica, ma implica la corrispondente forma della congettura dei cinque esponenziali.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.