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Primoriali

Teoria dei numeri 

Si chiama “n primoriale”, come suggerito da Harvey Dubner, e si indica con n# il prodotto dei numeri primi non superiori a n.

La definizione è simile a quella dei fattoriali, ma il prodotto viene calcolato solo sui numeri primi quindi n# è diverso da (n – 1)# solo se n è primo. Per convenzione 1# = 1;

 

Tra le proprietà interessanti:

  • Limite di p#^(1 / p) = e(Sebastián Martín Ruiz, 1997), ovvero n# cresce come en;

  • Limite di p(n)#^(1 / n) / p(n) = e, ovvero la media geometrica dei primi n primi tende a epn; l’affermazione fu proposta come congettura da Anton Vrba nel 2010 e dimostrata da J. Sándor e A. Verroken nel 2011;

  • Limiti inferiore e superiore per log(p(n) / p(n)#^(1 / n)) per pn ≥ 32059 (Alexei Kourbatov, 2016);

  • n# < an per a > e (Diamond e Erdös, 1980);

  • n# < C(n^2, n) per n < 1794 e n# > C(n^2, n) per n ≥ 1794 (H. Gupta e S.P. Khare, 1977).

 

Nel 1907 H. Bonse dimostrò che p(n + 1)^2 < p(n)# per n > 3 (nota come disuguaglianza di Bonse) e che p(n + 1)^3 < p(n)# per n > 5.

 

Nel 1960 L. Pósa dimostrò che per qualsiasi intero k, vale p(n + 1)^k < p(n)#, per n abbastanza grande; nel 2000 L. Panaitopol dimostrò che basta che n sia uguale a 2k e in particolare p(n + 1)^(n – π(n)) < p(n)#.

Nel senso opposto è facile dimostrare che (A.A.K. Majumadar, 2010):

  • p(n)# < p(n)^(n – 1), per n > 3;

  • p(n)# < p(n)^(n – 2), per n > 6;

  • p(n)# < p(n)^(n – 3), per n > 9;

  • p(n)# < p(n + 1)^(n – 1), per n > 2;

  • p(n)# < p(n + 1)^(n – 2), per n > 5;

  • p(n)# < p(n + 1)^(n – 3), per n > 8.

 

θ(x) uguale al logaritmo del primoriale del massimo intero nn superiore a x è la prima funzione di Chebyshev.

 

n# + 1 e n# – 1, come n! + 1 e n! – 1, sono divisibili per almeno un numero primo maggiore di n, ma non sono necessariamente primi (v. primi primoriali).

 

Si ritiene che per ogni primo pn ve ne sia sempre almeno un altro tra pn# e p(n)# + p(n + 1)^2.

 

La somma dei reciproci dei primoriali è convergente, ma non se ne conosce un’espressione semplice: Somma dei reciproci dei primoriali; si sa però che questo numero è irrazionale (v. costanti senza nome).

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della somma dei reciproci dei primoriali (Jean-François Alcover, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Anche per la somma dei reciproci dei primoriali differenti, ossia dei primoriali dei numeri primi, non si conosce un’espressione semplice: Somma dei reciproci dei primoriali dei primi; si sa però che questo numero è irrazionale.

Alla voce frazioni continue trovate i primi termini dell’espansione in frazione continua semplice della costante.

L’espansione di Engel della costante è costituita dai numeri primi.

Qui trovate le prime 20000 cifre decimali della somma dei reciproci dei primoriali dei numeri primi (Harry J. Smith, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld dimostrarono nel 1962 che, indicando con f(n) il logaritmo del minimo comune multiplo degli interi da 1 a n, il massimo di f(n) / n si raggiunge per n = 113 e il massimo di (f(n) – log(n#)) / sqrt(n) si raggiunge per n = 361.

 

p# + 1 non è mai una potenza con esponente maggiore di 1 (A.A.K. Majumadar, 2010).

 

p# = xn ± yn non ha soluzioni intere con n maggiore di 2 e p > 1, ossia un primoriale maggiore di 2 non è mai una somma o una differenza di due potenze di interi con esponenti almeno uguali a 3.

 

Dato che p# + 1 è della forma 4k + 3, non può essere né un quadrato, né una somma di due quadrati, ma è sempre esprimibile come differenza di quadrati.

 

La sequenza degli interi da 1 a pn# – 1 è la più lunga sequenza di interi con al massimo n – 1 fattori primi distinti. Per esempio, p3# = 30 e la sequenza da 1 a 29 è la più lunga sequenza di interi consecutivi con al massimo 2 fattori primi distinti.

 

2# = 2 = 1 • 2, 3# = 6 = 2 • 3, 5# = 30 = 5 • 6, 7# = 210 = 14 • 15 e 17# = 510510 = 714 • 715 sono gli unici casi noti in cui p#, con p primo, sia il prodotto di due interi consecutivi. La ricerca di altri casi del genere è stata estesa ai primi 3049 primi.

Questo equivale a dire che l’insieme più grande di primi consecutivi che possa essere diviso in due parti, tali che la differenza tra il prodotto dei membri dell’una e quello dei membri dell’altra sia 1, è costituito dai primi da 2 a 17: 5 • 11 • 13 – 2 • 3 • 7 • 17 = 1. Un insieme del genere, infatti, deve deve contenere per forza 2, in modo che uno dei prodotti sia pari e l’altro dispari, quindi è costituito dai primi k primi e la suddivisione equivale a scomporre pk# in due interi consecutivi, non multipli di quadrati.

 

Ogni intero altamente composto è il prodotto di primoriali. P. es. 360 = 2 • 6 • 30.

 

Ogni primoriale ha più fattori primi degli interi inferiori e la funzione φ(n) / n ha per n uguale a un primoriale un valore inferiore ai valori per gli interi minori.

 

Utilizzando un primoriale come base della rappresentazione dei numeri, si hanno meno frazioni periodiche che utilizzando i numeri inferiori.

 

L’unico numero di Fibonacci noto della forma p# + 1 è 2# + 1 = 3 = F4.

 

Gli unici numeri di Lucas (I) noti della forma p# + 1 sono 2# + 1 = 3 = L2 e 3# + 1 = 7 = L4.

 

La tabella seguente mostra i primoriali fino a 100#.

n

n#

1

1

2

2

3

6

5

30

7

210

11

2310

13

30030

17

510510

19

9699690

23

223092870

29

6469693230

31

200560490130

37

7420738134810

41

304250263527210

43

13082761331670030

47

614889782588491410

53

32589158477190044730

59

1922760350154212639070

61

117288381359406970983270

67

7858321551080267055879090

71

557940830126698960967415390

73

40729680599249024150621323470

79

3217644767340672907899084554130

83

267064515689275851355624017992790

89

23768741896345550770650537601358310

97

2305567963945518424753102147331756070

 

I numeri fino a 106, tali che sottraendo tutti i primoriali inferiori (tranne 1) si ottengano sempre numeri primi sono: 2, 4, 5, 9, 13, 19, 25, 43, 49, 73, 103, 109, 133, 169, 229, 313, 403, 493, 649, 883, 1093, 1489, 1699, 1789, 2143, 2209, 2299, 3463, 3853, 4453, 5653, 6583, 6913, 9139, 12283, 12643, 13039, 14743, 15649, 16483, 17629, 21523, 22069, 24253, 27949, 41623, 43789, 47743, 50053, 51199, 52573, 59473, 86293, 88819, 93493, 101533, 115333, 176053, 183529, 197299, 205663, 209773, 235009, 257503, 296509, 325543, 335749, 336673, 338413, 347989, 356143, 364543, 379933, 407293, 428179, 470419, 473383, 473929, 476893, 480049, 500239, 517213, 556489, 616159, 700309, 710533.

Qui trovate i numeri fino a 1010, tali che sottraendo tutti i primoriali inferiori (tranne 1) si ottengano sempre numeri primi (M. Fiorentini, 2017).

 

I numeri primi fino a 109, tali che sottraendo tutti i primoriali inferiori (tranne 1) si ottengano sempre numeri primi sono: 2, 5, 13, 19, 43, 73, 103, 109, 229, 313, 883, 1093, 1489, 1699, 1789, 2143, 3463, 3853, 5653, 15649, 21523, 43789, 47743, 50053, 51199, 59473, 86293, 88819, 93493, 101533, 176053, 197299, 205663, 235009, 257503, 296509, 325543, 338413, 347989, 356143, 364543, 473383, 473929, 480049, 500239, 1088449, 1172959, 1399819, 1447219, 1468969, 1577509, 1601779, 1685479, 1705399, 1987549, 2437429, 2657203, 3037423, 3407149, 3602089, 4442443, 4529389, 4593709, 5451703, 5485399, 5569303, 6641359, 7331383, 7696879, 9325243, 9585889, 9589429, 9646963, 19800379, 20252503, 26062369, 31017799, 39396949, 41890969, 51567079, 52992703, 53613619, 57343003, 61336339, 63626683, 68011819, 74979019, 78435823, 80372713, 86039413, 87596989, 90979159, 94258273, 94937209, 98316949, 128581603, 130861669, 138843169, 143134423, 146961679, 149158003, 155793433, 163414093, 167071783, 168705349, 175073389, 182354203, 202387309, 215984833, 218996653, 222586753, 264333259, 267024223, 412360453, 447713533, 473236243, 517025923, 522858913, 563926249, 726373729, 804975169, 1038443743, 1074883549, 1086991669, 1097271943, 1107964933, 1175486803, 1215608293, 1218515149, 1229206249, 1266460213, 1349144263, 1452237823, 1740782839, 1814782429, 1980226819, 2072870623, 2198922493, 2216738263, 2234670679, 2241546163, 2302749313, 2379928723, 2453991103, 2456304679, 2555392579, 2625952729, 2635779613, 2669248333, 2739067819, 2973209809, 3525189013, 3694668829, 3748675369, 3781378039, 4355005093, 4454542849, 4458694069, 4631246623, 4713809329, 4754488603, 4875156049, 4894781743, 4953283459, 4979835613, 4987935769, 5130739093, 5193918493, 5205570919, 5309638909, 5668008109, 5701275919, 5829423559, 6238812919, 6339423193, 9348884059 (M. Fiorentini, 2017).

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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