Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pitagorici (numeri) (I)

Geometria  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Calcolo delle terne pitagoriche
  3. 3. Proprietà
  4. 4. Numero di terne
  5. 5. Terne con caratteristiche particolari
  6. 6. Combinazioni di terne

Vi sono alcuni problemi classici consistenti nella costruzione di figure geometriche scomposte in triangoli rettangoli con lati tutti interi.

 

E’ possibile dividere un quadrato in triangoli rettangoli, in modo che tutti i lati dei triangoli siano interi. Charles Jepsen e Roc Yang dimostrarono nel 1998 che servono almeno 5 triangoli e trovarono la soluzione mostrata nella figura seguente.

 

Quadrato diviso in 5 triangoli rettangoli con lati interi

 

 

Per un po’ si credette che 9000 fosse il minimo possibile lato del quadrato, poi l’australiana Penny Drastik trovò una dozzina di soluzioni con lati inferiori. La beffa per il mondo matematico sta nel fatto che allora aveva 10 anni e frequentava le elementari.

La minima soluzione di Penny è mostrata nella figura seguente.

 

Quadrato diviso in 5 triangoli rettangoli con lati interi

 

Con l’aiuto di un calcolatore ho dimostrato che la minima soluzione di Penny è effettivamente quella col minimo lato del quadrato.

 

Con riferimento alla figura seguente, la tabella successiva mostra tutte le soluzioni primitive, vale a dire senza un divisore comune a tutti gli elementi, col lato del quadrato fino a 104 (M. Fiorentini, 2019).

 

Quadrato diviso in 5 triangoli rettangoli con lati interi

 

l

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

1248

364

884

987

261

1300

1325

1275

600

700

1125

2340

1456

884

987

1353

2756

1325

2703

2385

371

1272

9000

2625

6375

3400

5600

9375

7225

10600

7896

1479

7072

19080

11872

7208

13515

5565

22472

15317

19875

14805

7667

13260

21216

4437

16779

15028

6188

21675

22525

22100

10400

11275

19500

39780

23001

16779

15028

24752

45951

22525

46852

41340

4611

22048

44820

27888

16932

24955

19865

52788

30157

49025

40545

12243

27560

46176

43407

2769

32708

13468

63375

32825

48100

41440

21935

24420

156000

32625

123375

65800

90200

159375

139825

180200

120224

39151

134232

177120

39852

137268

80155

96965

181548

158957

201925

133480

48068

151515

195360

183645

11715

19880

175480

268125

23075

262600

261664

6461

22152

248040

154336

93704

137853

110187

292136

166685

271413

224595

67541

152388

330720

191224

139496

261555

69165

382024

296429

337875

225420

156604

251685

497640

83520

414120

263465

234175

504600

490825

549985

313313

191287

452016

517920

230076

287844

424235

93685

566724

512669

526325

295880

270844

435285

617760

375375

242385

198152

419608

722865

313073

746792

679392

43473

310040

807300

775775

31525

304980

502320

1119625

306605

950820

921564

198061

234048

 

Esiste una seconda configurazione possibile, sempre con 5 triangoli; la figura seguente mostra il minimo quadrato divisibile nel secondo modo.

 

Quadrato diviso in 5 triangoli rettangoli con lati interi

 

Con riferimento alla figura seguente, la tabella successiva mostra tutte le soluzioni col lato del quadrato fino a 106, senza un divisore comune a tutti gli elementi (M. Fiorentini, 2019).

 

Quadrato diviso in 5 triangoli rettangoli con lati interi

 

l

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

6120

3808

2312

4335

1785

4913

7208

6375

1305

3608

6240

6240

3608

2632

4935

1305

5593

7208

6375

1785

3808

6120

58500

36400

22100

24675

33825

33125

68900

67575

13833

19292

66144

66144

19292

46852

52311

13833

70225

68900

67575

33825

36400

58500

865800

538720

327080

481185

384615

581825

1019720

947385

168633

413192

932256

932256

413192

519064

763623

168633

923335

1019720

947385

384615

538720

865800

 

Non è difficile dimostrare che in un quadrato primitivo, ossia tale che non esista un divisore comune maggiore di 1 per tutti gli elementi, diviso in 5 triangoli rettangoli con lati interi:

  • l è multiplo di 12;

  • tra b e c uno è multiplo di 4 e l’altro dispari;

  • esattamente uno tra b e c è multiplo di 3.

 

Jepsen e Yang dimostrarono anche che esistono suddivisioni del genere di un quadrato per qualsiasi numero di triangoli maggiore di 4, ma la loro costruzione, basata sul suddividere uno dei triangoli rettangoli in due triangoli rettangoli simili, produce una suddivisione contenente triangoli simili, se il numero di triangoli è maggiore di 5. Non è stato dimostrato se sia possibile una suddivisione in qualsiasi numero di triangoli rettangoli con lati interi e tutti dissimili tra loro.

 

Un quadrilatero convesso viene suddiviso dalle diagonali in 4 triangoli; è possibile fare in modo che questi siano rettangoli e con lati interi.La figura mostra la soluzione col minimo perimetro del quadrilatero, ossia 176 e con il minimo lato maggiore, vale a dire 60.

 

Quadrilatero diviso in 4 triangoli rettangoli con lati interi

 

Con riferimento alla figura seguente, la tabella successiva mostra tutte le soluzioni primitive, vale a dire senza un divisore comune a tutti gli elementi, col massimo lato del quadrilatero fino a 1000(M. Fiorentini, 2019).

 

Quadrilatero diviso in 4 triangoli rettangoli con lati interi

 

a

b

c

d

e

f

g

h

36

15

20

48

39

25

52

60

60

45

24

32

75

51

40

68

72

21

28

96

75

35

100

120

84

63

60

80

105

87

100

116

120

27

36

160

123

45

164

200

120

35

84

288

125

91

300

312

140

105

36

48

175

111

60

148

140

105

88

480

175

137

488

500

156

65

72

320

169

97

328

356

168

99

132

224

195

165

260

280

180

33

44

240

183

55

244

300

180

75

40

96

195

85

104

204

180

135

84

112

225

159

140

212

200

45

108

480

205

117

492

520

208

105

56

390

233

119

394

442

220

165

144

192

275

219

240

292

240

117

156

320

267

195

356

400

252

39

52

336

255

65

340

420

252

105

100

240

273

145

260

348

252

189

48

64

315

195

80

260

260

195

216

288

325

291

360

388

280

63

216

960

287

225

984

1000

280

525

180

96

595

555

204

296

300

55

132

720

305

143

732

780

300

315

168

160

435

357

232

340

308

231

108

144

385

255

180

340

308

495

100

75

583

505

125

317

312

91

60

25

325

109

65

313

312

585

220

459

663

625

509

555

336

45

60

448

339

75

452

560

360

105

56

192

375

119

200

408

360

105

88

66

375

137

110

366

360

105

88

480

375

137

488

600

364

273

180

240

455

327

300

436

392

231

160

630

455

281

650

742

396

165

280

672

429

325

728

780

396

255

340

528

471

425

628

660

396

297

60

80

495

303

100

404

400

195

216

90

445

291

234

410

408

819

208

306

915

845

370

510

420

77

264

352

427

275

440

548

420

153

204

560

447

255

596

700

420

175

60

144

455

185

156

444

420

315

264

77

525

411

275

427

420

315

264

352

525

411

440

548

420

675

360

224

795

765

424

476

432

51

68

576

435

85

580

720

468

351

132

176

585

375

220

500

476

357

360

480

595

507

600

676

504

147

140

480

525

203

500

696

504

285

380

672

579

475

772

840

520

117

240

576

533

267

624

776

528

171

228

704

555

285

740

880

532

399

468

624

665

615

780

820

540

57

76

720

543

95

724

900

540

225

140

336

585

265

364

636

560

273

180

75

623

327

195

565

572

429

72

96

715

435

120

580

600

135

72

320

615

153

328

680

612

459

312

416

765

555

520

740

624

715

120

50

949

725

130

626

624

715

120

182

949

725

218

650

660

275

240

576

715

365

624

876

660

425

168

576

785

457

600

876

660

495

156

208

825

519

260

692

684

513

420

560

855

663

700

884

720

351

132

85

801

375

157

725

720

351

280

210

801

449

350

750

728

429

72

54

845

435

90

730

748

561

252

336

935

615

420

820

748

561

400

195

935

689

445

773

756

315

80

192

819

325

208

780

780

585

84

112

975

591

140

788

840

245

84

288

875

259

300

888

840

495

264

448

975

561

520

952

936

273

560

75

975

623

565

939

 

Per parallelepipedi con spigoli e diagonali delle facce intere v. problema del mattone razionale.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Dudeney, Henry Ernest;  The Canterbury Puzzles, Londra, Thomas Nelson, 1907.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Neville, Robbins;  "On the Number of Primitive Pythagorean Triangles with a Given Inradius" in Fibonacci Quarterly, n. 44, 2006, pag. 368 – 369.
  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.