Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pitagorici (numeri) (I)

Geometria  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Calcolo delle terne pitagoriche
  3. 3. Proprietà
  4. 4. Numero di terne
  5. 5. Terne con caratteristiche particolari

Sono state cercate terne con varie caratteristiche particolari.

 

Il problema che viene in mente per primo è cercare terne con lati che siano numeri primi, terne che naturalmente devono essere primitive. In una terna pitagorica possono essere primi solo l’ipotenusa e il cateto dispari; le terne del genere con un cateto minore di 1000 sono:

  • (3, 4, 5),

  • (5, 12, 13),

  • (11, 60, 61),

  • (19, 180, 181),

  • (29, 420, 421),

  • (59, 1740, 1741),

  • (61, 1860, 1861),

  • (71, 2520, 2521),

  • (79, 3120, 3121),

  • (101, 5100, 5101),

  • (131, 8580, 8581),

  • (139, 9660, 9661),

  • (181, 16380, 16381),

  • (199, 19800, 19801),

  • (271, 36720, 36721),

  • (349, 60900, 60901),

  • (379, 71820, 71821),

  • (409, 83640, 83641),

  • (449, 100800, 100801),

  • (461, 106260, 106261),

  • (521, 135720, 135721),

  • (569, 161880, 161881),

  • (571, 163020, 163021),

  • (631, 199080, 199081),

  • (641, 205440, 205441),

  • (661, 218460, 218461),

  • (739, 273060, 273061),

  • (751, 282000, 282001),

  • (821, 337020, 337021),

  • (881, 388080, 388081),

  • (929, 431520, 431521),

  • (991, 491040, 491041).

Se l’ipotesi di Schinzel è vera, queste terne sono infinite e se è vera la congettura di Bateman – Horn hanno densità nulla.

 

L’area di un triangolo rettangolo con lati interi si può esprimere come r2ab(a2b2) e il perimetro come r(2ab + (a2b2) + (a2 + b2)) = 2ra(a + b). Ovviamente area e perimetro non possono essere “uguali” in senso geometrico, ma possono esserlo in senso aritmetico: la ricerca di triangoli rettangoli con area uguale al perimetro è un problema antico e semplice, nel senso che le due soluzioni si trovano con facilità, mentre è appena più complesso dimostrare che sono le uniche. Perché i due valori siano uguali, deve valere l’equazione 2ra(a + b) = r2ab(a2b2), ossia 2 = rb(ab). Dovendo a, b e r essere interi maggiori di zero, le soluzioni possibili sono solo:

  • r = 1, b = 1, a = 3, da scartare, perché a e b non devono essere entrambi dispari;

  • r = 1, b = 2, a = 3, che produce la terna 5, 12, 13;

  • r = 2, b = 1, a = 2, che produce la terna 6, 8, 10.

 

Se non ci si limita a triangoli rettangoli, esistono tre altre soluzioni, date dai triangoli eroniani con lati:

  • 6, 25 e 29 (area e perimetro uguali a 60);

  • 7, 15 e 20 (area e perimetro uguali a 42);

  • 9, 10 e 17 (area e perimetro uguali a 36).

In questa forma il problema risale a Bachet.

 

Analogamente è facile dimostrare che le terne pitagoriche nelle quali l’area è uguale a n volte il perimetro sono in numero finito per ogni valore di n.

La tabella seguente mostra i lati dei triangoli rettangoli con lati interi nei quali l’area è n volte il perimetro, per n da 1 a 10.

n

Lati

Perimetro

Area

1

6, 8, 10

5, 12, 13

24

30

24

30

2

12, 16, 20

10, 24, 36

9, 40, 41

30

60

90

60

120

180

3

13, 84, 85

14, 48, 50

15, 36, 39

16, 30, 34

18, 24, 30

20, 21, 29

182

112

90

80

72

70

546

336

270

240

216

210

4

17, 144, 145

18, 80, 82

20, 48, 52

24, 32, 40

306

180

120

96

1224

720

480

384

5

21, 220, 221

22, 120, 122

24, 70, 74

25, 60, 65

28, 45, 53

30, 40, 50

462

264

168

150

126

120

2310

1320

840

750

630

600

6

25, 312, 313

26, 168, 170

27, 120, 123

28, 96, 100

30, 72, 78

32, 60, 68

33, 56, 65

36, 48, 60

650

364

270

224

180

160

154

144

3900

2184

1620

1344

1080

960

924

864

7

29, 420, 421

30, 224, 226

32, 126, 130

35, 84, 91

36, 77, 85

42, 56, 70

870

480

288

210

198

168

6090

3360

2016

1470

1386

1176

8

33, 544, 545

34, 288, 290

36, 160, 164

40, 96, 104

48, 64, 80

1122

612

360

240

192

8976

4896

2880

1920

1536

9

37, 684, 685

38, 360, 362

39, 252, 255

40, 198, 202

42, 144, 150

44, 117, 125

45, 108, 117

48, 90, 102

54, 72, 90

60, 63, 87

 1406

760

546

440

336

286

270

240

216

210

12654

6840

4914

3960

3024

2574

2430

2160

1944

1890

10

41, 840, 841

42, 440, 442

44, 240, 244

45, 200, 205

48, 140, 148

50, 120, 130

56, 90, 106

60, 80, 100

65, 72, 97

 1722

924

528

450

336

300

252

240

234
 17220

9240

5280

4500

3360

3000

2520

2400

2340

 

Vi sono almeno 6 triangoli rettangoli con lati interi nel quale l’area sia n volte il perimetro, per ogni intero positivo n maggiore di 8, corrispondenti alle combinazioni di lati riportate nella tabella seguente.

Lati

Perimetro

Area

6n, 8n, 10n

24n

24n2

5n, 12n, 13n

30n

30n2

4n + 8, n2 + 4n, n2 + 4n + 8

2n2 + 12n + 16

2n3 + 12n2 + 16n

4n + 4, 2n2 + 4n, 2n2 + 4n + 4

4n2 + 12n + 8

4n3 + 12n2 + 8n

4n + 2, 4n2 + 4n, 4n2 + 4n + 2

8n2 + 12n + 4

8n3 + 12n2 + 4n

4n + 1, 8n2 + 4n, 8n2 + 4n + 1

16n2 + 12n + 2

16n3 + 12n2 + 2n

Queste 6 combinazioni sono le uniche, se n è un primo dispari.

 

Il metodo per trovare tutti i triangoli rettangoli con lati interi nei quali l’area sia n volte il perimetro consiste nel trovare tutte le coppie di interi positivi r e s tali che rs = 8n2; per ciascuna coppia si calcolano quindi i lati come r + 4k, s + 4kFormula per l'ipotenusa (Paul Cleary).

 

Bernard Frénicle de Bessy (circa 1605 – 17/1/1675) propose a John Wallis (Ashford, UK, 23/11/1616 – Oxford, UK, 28/10/1703) il problema di trovare due triangoli rettangoli con uguale differenza dei cateti e il cateto maggiore dell’uno uguale all’ipotenusa dell’altro. Fermat trovò i triangoli (2150905, 2138136, 234023) e (2165017, 2150905, 246792).

Se nell’enunciato sostituiamo la somma dei cateti alla differenza, la minima soluzione diventa (1517, 1508, 165) e (1525, 1517, 156).

 

Una classe di problemi largamente analizzati, addirittura a partire da Diofanto, è la ricerca di terne con condizioni particolari su aree e perimetri o su somme differenze degli elementi, che possono essere quadrati, cubi ecc..

 

Il problema più antico è cercare triangoli nei quali un lato sia un quadrato.

La soluzione è semplice, se si cercano terne pitagoriche qualsiasi: partendo da una terna x, y, z, basta moltiplicare tutti i numeri per z, per ottenere una terna xz, yz, z2, nella quale l’ipotenusa è un quadrato e moltiplicando per potenze superiori di z di possono ottenere terne nelle quali l’ipotenusa sia un cubo o una potenza qualsiasi. In modo analogo si trovano terne nelle quali un cateto sia una qualsiasi potenza o un lato sia un numero triangolare.

 

Il problema è leggermente più complesso se si cercano terne primitive nelle quali un lato sia un quadrato o una potenza.

 

Perché il cateto pari sia una potenza k-esima, bisogna che 2ab = pk e quindi, dato che a e b sono primi tra loro, a = 2k – 1mk, b = nk; si può pertanto costruire una terna a partire da due interi primi tra loro m e n, con n dispari, tramite le formule:

  • x = |22k – 2m2kn2k|;

  • y = (2mn)k;

  • z = 22k – 2m2k + n2k.

 

Perché il cateto dispari sia una potenza k-esima, bisogna che a2b2 = pk; scelta allora una potenza dispari, la si scompone come prodotto di due interi primi tra loro m e n, con m > n, e si costruisce una terna con Formula per a, Formula per b, ossia con le formule:

  • x = mn;

  • Formula per y;

  • Formula per z.

 

Per trovare una terna primitiva nella quale l’ipotenusa sia un quadrato bisogna innanzitutto costruire una terna pitagorica primitiva m, n, p con m > n: avremo che m2 + n2 = p2 e si può costruire la terna desiderata a partire da a = 2mn, b = m2n2.

Questo corrisponde a costruire una terna partendo da due interi positivi m e n primi tra loro, l’uno pari e l’altro dispari e tali che m > n con le seguenti formule:

  • x = |m4 + n4 – 6m2n2|;

  • y = 4mn(m2n2);

  • z = m4 + n4 + 2m2n2 = (m2 + n2)2.

 

Le terne pitagoriche primitive con ipotenusa quadrata inferiori a 10000 sono:

  • (7, 24, 25 = 52),

  • (119, 120, 169 = 132),

  • (161, 240, 289 = 172),

  • (336, 527, 625 = 252),

  • (41, 840, 841 = 292),

  • (840, 1081, 1369 = 372),

  • (720, 1519, 1681 = 412),

  • (1241, 2520, 2809 = 532),

  • (1320, 3479, 3721 = 612),

  • (2016, 3713, 4225 = 652),

  • (2047, 3696, 4225 = 652),

  • (721, 5280, 5329 = 732),

  • (2184, 6887, 7225 = 852),

  • (4633, 5544, 7225 = 852),

  • (4879, 6240, 7921 = 892),

  • (959, 9360, 9409 = 972).

Qui trovate le terne pitagoriche primitive con ipotenusa quadrata inferiori a 109 (M. Fiorentini 2014).

 

Per trovare una terna primitiva nella quale l’ipotenusa sia un cubo o una potenza k-esima bisogna scegliere una potenza pk, tale che tutti i fattori primi di p siano della forma 4m + 1; in tal caso, infatti, pk si può esprimere come somma di due quadrati primi tra loro a2 + b2 e i valori di a e b così ottenuti permettono di costruire la terna desiderata. Le rappresentazioni di pk come somma di due quadrati si ottengono a partire dalle rappresentazioni come somma di due quadrati dei fattori primi di p, applicando l’dentità dei due quadrati (v. quadrati).

Per esempio, per trovare una terna con ipotenusa 53 = 125, si rappresenta 125 come somma di due quadrati: 125 = 112 + 22. A partire da a = 11, b = 2 si costruisce quindi la terna con le solite formule, ottenendo (44, 117, 125).

Il numero di terne primitive con ipotenusa pk è uguale, per k > 0, al numero di scomposizioni di p come somma di di due quadrati primi tra loro, ossia 2ω(p) – 1, quindi illimitato.

 

Le terne pitagoriche primitive con ipotenusa cubica inferiori a 106 sono:

  • (44, 117, 125 = 53),

  • (828, 2035, 2197 = 133),

  • (495, 4888, 4913 = 173),

  • (10296, 11753, 15625 = 253),

  • (15939, 18460, 24389 = 293),

  • (27755, 42372, 50653 = 373),

  • (42471, 54280, 68921 = 413),

  • (14715, 148148, 148877 = 533),

  • (117469, 194220, 226981 = 613),

  • (186416, 201663, 274625 = 653),

  • (7336, 274527, 274625 = 653),

  • (213785, 325008, 389017 = 733),

  • (272987, 550116, 614125 = 853),

  • (157157, 593676, 614125 = 853),

  • (146960, 689481, 704969 = 893),

  • (539352, 736255, 912673 = 973).

 

Le terne pitagoriche primitive con ipotenusa inferiore a 109 e che sia una potenza con esponente maggiore di 3 sono:

  • (336, 527, 625 = 54),

  • (237, 3116, 3125 = 55),

  • (10296, 11753, 15625 = 56),

  • (239, 28560, 28561 = 134),

  • (16124, 76443, 78125 = 57),

  • (31679, 77280, 83521 = 174),

  • (145668, 341525, 371293 = 135),

  • (164833, 354144, 390625 = 254),

  • (164833, 354144, 390625 = 58),

  • (68880, 703919, 707281 = 294),

  • (905768, 1093425, 1419857 = 175),

  • (462961, 1816080, 1874161 = 374),

  • (922077, 1721764, 1953125 = 59),

  • (1788961, 2187360, 2825761 = 414),

  • (3369960, 3455641, 4826809 = 136),

  • (4810319, 6254640, 7890481 = 534),

  • (1476984, 9653287, 9765625 = 255),

  • (1476984, 9653287, 9765625 = 510),

  • (9184560, 10361041, 13845841 = 614),

  • (9722113, 14970816, 17850625 = 654),

  • (9470207, 15131424, 17850625 = 654),

  • (12631900, 16159899, 20511149 = 295),

  • (4839120, 23647519, 24137569 = 176),

  • (7613760, 27358559, 28398241 = 734),

  • (34182196, 34867797, 48828125 = 511),

  • (30082416, 42660913, 52200625 = 854),

  • (9271247, 51370704, 52200625 = 854),

  • (15132959, 60889920, 62742241 = 894),

  • (23161315, 58317492, 62748517 = 137),

  • (5589325, 69118332, 69343957 = 375),

  • (17952480, 86689919, 88529281 = 974),

  • (72697201, 74455920, 104060401 = 1014),

  • (51872200, 103595049, 115856201 = 415),

  • (97334639, 102233040, 141158161 = 1094),

  • (82783680, 140468161, 163047361 = 1134),

  • (32125393, 242017776, 244140625 = 1254),

  • (32125393, 242017776, 244140625 = 256),

  • (32125393, 242017776, 244140625 = 512),

  • (121265760, 330745439, 352275361 = 1374),

  • (116593352, 393425745, 410338673 = 177),

  • (146769868, 391594275, 418195493 = 535),

  • (200217024, 394108993, 442050625 = 1454),

  • (272816544, 347821633, 442050625 = 1454),

  • (85047601, 485491440, 492884401 = 1494),

  • (86719879, 588467880, 594823321 = 296),

  • (399533999, 457731120, 607573201 = 1574),

  • (13651680, 815616479, 815730721 = 138),

  • (13651680, 815616479, 815730721 = 1694),

  • (520632300, 665045051, 844596301 = 615),

  • (306813841, 841560720, 895745041 = 1734).

Qui trovate le terne pitagoriche primitive con ipotenusa inferiore a 1012 e che sia una potenza con esponente superiore a 2 (M. Fiorentini 2014).

 

Non esistono terne pitagoriche primitive con l’ipotenusa che sia un numero triangolare.

 

Per generare terne pitagoriche primitive nelle quali la differenza tra i cateti sia un quadrato bisogna prendere a = 2m(mn) e b = m2 + n2, con m e n primi tra loro, scelti in modo tale che a > b, m pari, n dispari, m > n. La differenza tra i cateti sarà allora (m2 + 2mnn2)2.

 

Esistono infinite terne pitagoriche tali che la differenza tra i cateti sia un quadrato fissato; un modo per generarne infinite è moltiplicare per il quadrato voluto le (infinite) terne nelle quali la differenza dei cateti è 1.

 

Esistono terne pitagoriche tali che sia l’ipotenusa, sia la differenza dei cateti siano quadrati; dalle formule per le terne con ipotenusa quadrata abbiamo che la differenza dei cateti si può esprimere come |m4 + n4 – 6m2n2| – |4mn(m2n2)|. Una delle soluzioni è relativamente facile da trovare, perché per una delle combinazioni dei segni la differenza si può esprimere come (mn)4 – 4mn2(3m – 2n), che evidentemente è un quadrato se 3m – 2n = 0, cioè se m = 2 e n = 3: i cateti sono 119 e 120 e l’ipotenusa è 169.

 

Se richiediamo invece che oltre all’ipotenusa, anche la somma dei cateti sia un quadrato, il problema diventa più difficile. Lo stesso metodo applicato nel caso precedente ci porta a richiedere che sia un quadrato |m4 + n4 – 6m2n2| + |4mn(m2n2)|. Questa volta però non vi è una scorciatoia che permetta di trovare rapidamente una soluzione come nel caso precedente.

In questa versione il problema fu proposto da Fermat a Mersenne nel 1643 e risolto dallo stesso Fermat. Se pensiamo che lavorava senza il minimo supporto automatico, neppure una calcolatrice, non possiamo che restare ammirati dalla genialità del francese. Il metodo che usò per affrontare il problema è il suo famoso metodo della discesa infinita, applicato però al contrario: Fermat scoprì, infatti, che dati 3 interi c, d ed e, tali che 2d4c4 = e2, prendendo Formula per m e Formula per n, dove q è il massimo comun divisore di c2 + 2d2 e cd ± e, poteva ottenere a = m2n2 e b = 2mn, da usare nelle solite formule, per ottenere il triangolo desiderato. Inoltre nel triangolo ottenuto la radice quadrata c1 della somma dei cateti, la radice quadrata d1 = m2 + n2 dell’ipotenusa e la differenza e1 dei cateti soddisfano l’equazione Equazione soddisfatta da c1, d1 ed e1 e possono essere usate per trovare un’altra soluzione, con numeri ancora maggiori.

Le prime soluzioni trovate in questo modo, a partire da c = d = e = 1, sono mostrate nella tabella seguente.

a

b

Cateti

Ipotenusa

5

12

120

–119

169

–156

1517

–473304

2276953

2325625

246792

2150905

1061652293520

4565486027761

4687298610289

3646005828134818308732

15077544228881381427605

109945628264924023237017010068507003594693720

214038981475081188634947041892245670988588201

240625698472667313160415295005368384723483849

194561588227313768540021520817

407988706623974232648491284944

158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496

–128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647

204308996346238115515039274058960844791420732521825765430625

 

Davanti ad e nel calcolo di n bisogna provare i due possibili segni: se si ottengono valori negativi dei cateti, come nel secondo e nel quarto caso, tali valori corrispondono alla soluzione del problema nella prima versione (differenza dei cateti uguale a un quadrato), altrimenti nella versione di Fermat (somma dei cateti uguale a un quadrato).

Il genio francese nel proporre il problema ben sapeva che chi avesse provato per tentativi, senza utilizzare un metodo simile a quello da lui scoperto (e naturalmente non divulgato) sarebbe stato condannato al fallimento, dato che nella soluzione minima i lati sono 1061652293520, 4565486027761 e 4687298610289.

 

Eulero raffinò il metodo, mostrando che a partire da una soluzione razionale dell’equazione ah4 + b = k2, con a e b fissati, se ne può trovare un’altra: ax4 + b = y2 con Formula per x. Ripetendo le operazioni si ottengono infinite soluzioni. Il metodo di Fermat corrisponde a iniziare con a = 2, b = –1; moltiplicando poi tutto per un’opportuna quarta potenza si ottiene una soluzione intera e si può ripetere il procedimento.

 

Infine nel 1777 Lagrange mostrò come trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione 2x4y4 = z2, dimostrando anche che la soluzione di Fermat è effettivamente la minima possibile.

 

Fermat dimostrò anche che l’area non può essere un quadrato, come probabilmente gli antichi Greci sospettavano. Infatti se l’area fosse un quadrato, diciamo h2, avremmo h^2 = x * y / 2 e quindi z2 + 4h2 = x2 + y2 + 2xy = (x + y)2 e z2 – 4h2 = x2 + y2 – 2xy = (xy)2, da cui, moltiplicando membro a membro (z2 + 4h2)(z2 – 4h2) = z4 – (2h)4 = (x + y)2(xy)2 = (x2y2)2, pertanto la differenza di due quarte potenze sarebbe un quadrato. Fermat dimostrò che né la somma né la differenza di due quarte potenze può essere un quadrato, trovando come ricavare una soluzione con interi minori da ogni (ipotetica) soluzione e quindi una sequenza infinita di interi sempre minori, ma non nulli, cosa chiaramente impossibile (per la dimostrazione si vedano i libri di Ribenboim e Hardy, citati nella bibliografia).

 

Le uniche terne nelle quali un lato sia un numero triangolare, un altro quadrato e il terzo pentagonale sono { 3, 4, 5 } e { 105, 100, 145 }.

 

Un vecchio problema è se sia possibile “colorare” le terne, assegnando a ogni numero naturale un colore tra tre possibili (per esempio, rosso, verde e giallo), in modo che in ogni terna non vi siano due numeri dello stesso colore.

Provando a mano l’impresa sembra possibile, almeno per numeri non troppo grandi, anche se a volte bisogna tornare indietro e cambiare la colorazione di vari numeri.

Il problema è stato risolto nel 2016 da Marijn Heule, Oliver Kullmann e Victor Marek, che con un massiccio impiego di calcolatori elettronici hanno dimostrato che si possono colorare gli interi da 1 a 7824, ma non si può procedere oltre: colorando 7825 si crea almeno una terna con due numeri dello stesso colore.

 

Un triangolo eroniano è un triangolo con lati e area interi; tutte le terne pitagoriche sono lati di triangoli eroniani, ma non viceversa.

Un triangolo eroniano è formato da due triangoli pitagorici con un cateto comune, che va a costituire l’altezza relativa alla base formata dagli altri due cateti, necessariamente contigui.

Tre interi a, b e c costituiscono i lati di un triangolo eroniano se e solo se (a2 + b2 + c2)2 – (a4 + b4 + c4) è un quadrato non nullo e multiplo di 16.

 

La fantasia dei matematici si è sbizzarrita sulle terne pitagoriche, inventando intorno a esse i problemi più strani. Per esempio, può l’area essere scritta con una sola cifra, eventualmente ripetuta? La risposta è affermativa per due soli triangoli rettangoli: quello di lati 3, 4 e 5, con area 6, e quello di lati 693, 1924 e 2045, di area 666666.

 

L’unica terna pitagorica primitiva palindroma è quella formata da 3, 4 e 5; le altre note, come 303, 404 e 505, si ottengono moltiplicando questa per un numero palindromo scritto usando solo le cifre 0 e 1.

 

La minima terna pitagorica formata da numeri felici è (700, 3465, 3535); per altri esempi v. numer felici.

 

Le terne (88209, 90288, 126225) e (125928, 829521, 839025) hanno i cateti scritti con le stesse cifre, in ordine inverso. Non è noto se ne esistano altre.

 

Le terne nelle quali un cateto e l’ipotenusa sono scritti con le stesse cifre, in ordine inverso sono infinite, perché comprendono la sequenza di terne (33, 56, 65), (3333, 5656, 6565), (333333, 565656, 656565), …; oltre a queste si conoscono altri esempi, multipli delle prima terna, come (1980, 5265, 5625).

 

Charles W. Trigg fece notare che la più semplice terna pitagorica contiene riferimenti alle dieci cifre:

  • 1, il raggio del cerchio inscritto;

  • 2, il diametro del cerchio inscritto e la differenza tra somma dei cateti e ipotenusa;

  • 3, il cateto minore;

  • 4, il cateto maggiore;

  • 5, l’ipotenusa;

  • 6, l’area;

  • 7, la somma dei cateti;

  • 8, la somma del cateto minore con l’ipotenusa;

  • 9, la somma del cateto maggiore con l’ipotenusa;

  • 0, il significato esoterico di quanto sopra!

 

Tabelle numeriche

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Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Dudeney, Henry Ernest;  The Canterbury Puzzles, Londra, Thomas Nelson, 1907.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Neville, Robbins;  "On the Number of Primitive Pythagorean Triangles with a Given Inradius" in Fibonacci Quarterly, n. 44, 2006, pag. 368 – 369.
  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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