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Pitagorici (numeri) (I)

Geometria  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Calcolo delle terne pitagoriche
  3. 3. Proprietà
  4. 4. Numero di terne
  5. 5. Terne con caratteristiche particolari
  6. 6. Combinazioni di terne

Molti problemi sono legati allo stabilire quante siano le terne con determinate caratteristiche.

 

Si sa che in alcuni casi esistono infinite terne con una caratteristica comune:

  • esistono infinite terne pitagoriche nelle quali la differenza tra l’ipotenusa e il cateto maggiore è 1; in esse il cateto maggiore è il quadruplo di un numero triangolare;

  • esistono infinite terne pitagoriche nelle quali la differenza tra l’ipotenusa e un cateto è il doppio di un quadrato fissato.

  • per ogni intero positivo n esistono esattamente n terne pitagoriche con la stessa area e ipotenuse differenti;

  • per ogni intero positivo n esistono almeno n terne pitagoriche con lo stesso cateto;

  • per ogni intero positivo n esistono almeno n terne pitagoriche con la stessa ipotenusa.

 

Il numero di terne pitagoriche primitive con un cateto uguale a n è 0 se n è della forma 4k + 2, 2ω(n) – 1 altrimenti.

Se la scomposizione in fattori primi di n è Scomposizione di n in fattori primi, il numero di terne pitagoriche con un cateto uguale a n è Numero di terne con un cateto uguale a n, dove il termine 2e0 – 1 va omesso se n è dispari; questo numero è uguale al numero di modi per esprimere 2 / n come somma di due frazioni egizie differenti, perché per ogni soluzione dell’equazione 2 / n = 1 / a + 1 / b con b > a, esiste la terna (n, ba, b + an).

Per esempio, 8 è cateto in due terne, (6, 8, 10) e (8, 15 17) e 2 / 8 = 1 / 4 si può esprimere in due modi come somma di due frazioni egizie differenti: 1 / 6 + 1 / 12 e 1 / 5 + 1 / 20.

 

Il numero di terne pitagoriche primitive con l’ipotenusa uguale a n è 0 se n è pari o nella sua scomposizione ci sono primi della forma 4k + 1, 2ω(n) – 1 altrimenti.

Il numero di terne pitagoriche con l’ipotenusa uguale a n è Numero di terne pitagoriche con l’ipotenusa uguale a n, ovvero Numero di terne pitagoriche con l’ipotenusa uguale a n, dove i vari ek sono gli esponenti dei fattori primi della forma 4k + 1 nella scomposizione di n. In particolare esistono terne pitagoriche primitive con l’ipotenusa uguale a n se e solo se n ha almeno un fattore primo della forma 4k + 1.

 

Le formule possono essere usate anche per cercare un intero che sia cateto o ipotenusa di un numero n di terne primitive.

Se consideriamo qualsiasi terna, per i cateti dobbiamo rappresentare n come Rappresentazione di n, cosa possibile partendo dalla scomposizione di 2n + 1 in fattori primi; e0 va quindi preso come esponente di 2 e i valori dei restanti ek devono essere presi come esponenti di primi dispari distinti qualsiasi, moltiplicando poi queste potenze di primi tra loro, per ottenere il numero cercato. Per esempio se n = 7, Rappresentazione di 15, quindi i possibili valori degli esponenti sono: e0 = 8; e0 = 3, e1 = 1; e0 = 2, e1 = 2; e0 = 1, e1 = 7 o e0 = 1, e1 = 2, e2 = 1, per i numeri pari e e1 = 7 o e1 = 2, e2 = 1, per i numeri dispari, corrispondenti a interi delle forme: 28, 23p1, 2^2 * p(1)^2, 2 * p(1)^7, 2 * p(1)^2 * p(2), p(1)^7p(1)^2 * p(2) (con p1 e p2 primi dispari distinti).

Nel caso dell’ipotenusa valgono le stesse fomule, ma considerando solo primi della forma 4k + 1 e moltiplicando poi i numeri dispari ottenuti per una qualsiasi potenza di 2, inclusa 20 = 1.

 

La tabella seguente mostra i minimi interi che siano ipotenusa o cateto di esattamente n terne pitagoriche, per n fino a 20 (N.J.A. Sloane e David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Ipotenusa

Cateto

0

1

1

1

5

3

2

25

5

3

125

16

4

65

12

5

3125

15

6

15625

125

7

325

24

8

390625

40

9

1953125

75

10

1625

48

11

48828125

80

12

4225

72

13

1105

84

14

6103515625

60

15

30517578125

65536

16

40625

192

17

21125

144

18

3814697265625

524288

19

203125

384

20

95367431640625

640

 

Se chiamiamo Th(n), Tp(n), Ta(n) rispettivamente il numero di terne primitive con ipotenusa, perimetro e area minori di n, allora (v. costanti delle terne pitagoriche):

  • Limite asintotico per Th(n) / n (D.N. Lehmer, 1900);

  • Limite asintotico per Tp(n) / n (D.N. Lehmer, 1900);

  • Limite asintotico per Ta(n) / sqrt(n) (J. Lambek e Leo Moser, 1955).

 

Un problema antico è trovare un certo numero di triangoli con lati interi e perimetri o aree uguali. Non è difficile produrre un numero arbitrario di triangoli del genere: si inizia con due triangoli qualsiasi e si moltiplicano i lati in modo che il perimetro diventi il minimo comune multiplo dei perimetri o l’area il minimo comune multiplo delle aree; si può proseguire a piacere, aggiungendo nuovi triangoli all’insieme e continuando a moltiplicare.

 

Il numero di triangoli distinti t(n) con lati interi e perimetro n è dato da Numero di triangoli rettangoli distinti con lati interi e perimetro n, dove <x> è l'intero più vicino a x; la formula può anche essere scritta come Numero di triangoli rettangoli distinti con lati interi e perimetro n, per n pari, per n pari, e Numero di triangoli rettangoli distinti con lati interi e perimetro n, per n dispari, per n dispari. Un’elegante dimostrazione si trova in Mathematical Gems III e in Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions (v. bibliografia).

La funzione generatrice di t(n) è Funzione generatrice di t(n).

 

Il minimo perimetro comune a 2 triangoli è 60, comune ai triangoli (10, 24, 26) e (15, 20, 25).

Il minimo perimetro comune a 3 triangoli è 120, comune ai triangoli (20, 48, 52), (24, 45, 51) e (30, 40, 50).

Il minimo perimetro comune a 4 triangoli è 240, comune ai triangoli (40, 96, 104), (48, 90, 102), (60, 80, 100) e (15, 112, 113).

 

La tabella seguente mostra i minimi interi che siano il perimetro di esattamente n triangoli rettangoli con lati interi (Hugo Pfoertner, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Intero

1

12

2

60

3

120

4

240

5

420

6

720

7

1320

8

840

9

2640

10

1680

11

3360

12

2520

13

4620

14

7920

15

7560

16

5040

17

10080

18

17160

19

10920

20

9240

21

40320

22

25200

23

28560

24

21840

25

18480

26

60480

27

41580

28

46200

29

36960

30

32760

31

27720

32

78540

33

60060

34

129360

35

134640

36

115920

37

85680

38

65520

39

83160

 

La coppia di triangoli rettangoli con lati interi e la stessa area con area minima è formata da (20, 21, 29) e (12, 35, 37), con area 210.

 

Il problema di trovare tre triangoli rettangoli con lati interi e la stessa area risale a Diofanto, che diede una soluzione capace di produrre infinite terne del genere. Bisogna per prima cosa cercare tre interi m, n e p tali che m2 + n2 + mn = p2. Prendendo come a e b le coppie (n, p), (m, p) e (m + n, p) si ottengono le seguenti terne, corrispondenti a triangoli con area uguale a mnp(m + n):

  • 2mp, p2m2, p2 + m2;

  • 2np, p2n2, p2 + n2;

  • 2p(m + n), m2 + n2 + 2mnp2, m2 + n2 + 2mn + p2.

Il minimo esempio si ottiene per m = 3, n = 5, p = 7; l’area comune è 840 e le tre terne sono: (40, 42, 58), (24, 70, 74) e (15, 112, 113).

Sebbene Diofanto non lo affermasse esplicitamente, le terne di triangoli così generate sono infinite, infatti per ogni coppia di interi s e t con s < t < 2s possiamo ottenere una combinazione valida di valori prendendo: m = t(2st), n = t2s2 e p = t2st + s2.

 

La versione moderna del metodo di Diofanto, leggermente più semplice, consiste nell’usare le tre seguenti coppie di interi al posto di a e b:

  • a1 = m2 + mn + n2, b1 = m2n2;

  • a2 = m2 + mn + n2, b2 = 2mn + n2;

  • a3 = 2mn + n2, b2 = m2 + mn + n2.

Per qualsiasi coppia di interi m e m, con m > n, otteniamo le tre terne seguenti, che costituiscono i lati di triangoli rettangoli con lati interi e area uguale, pari a mn(m2 + mn + n2)(2m + n)(m + 2n)(m + n)(mn):

  • 2(m2 + mn + n2)(m2n2), mn(m + 2n)(2m + n), 2m4 + 2m3n + m2n2 + 2mn3 + 2n4;

  • 2n(m2 + mn + n2)(2m + n), m(mn)(m + 2n)(m + n), m4 + 2m3n + 7m2n2 + 6mn3 + 2n4;

  • 2m(m2 + mn + n2)(m + 2n), n(mn)(2m + n)(m + n), 2m4 + 6m3n + 7m2n2 + 2mn3 + n4.

Il minimo esempio si ottiene per m = 2, n = 1; l’area comune è 840 e le tre terne sono quelle sopra indicate.

 

Fermat trovò una soluzione ancora più generale, dimostrando che si può costruire un numero di triangoli grande a piacere con uguale area: dato un triangolo di cateti x e y e ipotenusa z, se ne può formare un altro con cateti Cateto del nuovo triangolo rettangoloCateto del nuovo triangolo rettangolo e ipotenusa Ipotenusa del nuovo triangolo rettangolo; il nuovo triangolo ha la stessa area del primo. Da questo se ne può ricavare un altro e così via; alla fine basta moltiplicare tutti i lati dei triangoli ottenuti per il minimo comune multiplo dei denominatori.

Per esempio, iniziando col triangolo di lati 3, 4 e 5, se ne ottiene uno con lati Cateto del secondo triangolo rettangoloCateto del secondo triangolo rettangoloIpotenusa del secondo triangolo rettangolo e da questo uno con lati Cateto del terzo triangolo rettangoloCateto del terzo triangolo rettangolo e Ipotenusa del terzo triangolo rettangolo; il minimo comune multiplo dei denominatori è 241717895860 e moltiplicando tutti i lati otteniamo i tre triangoli (725153687580, 966871583440, 1208589479300), (4143735357600, 169202527102, 4147188470398) e (339252715200, 2066690884801, 2094350404801), con area comune 350565247073914830837600.

In questo modo non si ottengono le soluzioni minime, però se ne ottengono infinite.

 

Il problema fu “reinventato” da Charles Lutwidge Dodgson (Daresbury, Inghilterra, 27/1/1832 – Guildford, Inghilterra, 14/1/1898), meglio conosciuto con lo pseudonimo Lewis Carroll, che, non a conoscenza dei lavori di Diofanto e Fermat, non riuscì ad andare oltre la coppia di triangoli; Henry Ernest Dudeney (Mayfield, Inghilterra, 10/4/1857 – Lewes, Inghilterra, 23/4/1930) diede invece una formula per trovare terne del genere (v. The Canterbury Puzzles nella bibliografia).

 

La tabella seguente mostra i minimi interi che siano l’area di esattamente n triangoli rettangoli con lati interi (Duncan Moore e David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Intero

1

6

2

210

3

840

4

341880

5

71831760

6

64648584000

7

2216650756320

8

22861058133513600

 

Molto più difficile è trovare terne pitagoriche primitive con aree o perimetri uguali.

 

Il numero di terne pitagoriche primitive che hanno semiperimetro n è uguale al numero di scomposizioni di n come n = uv, con u e v primi tra loro, u dispari e sqrt(n) < u < sqrt(2 * n); come conseguenza per ogni intero k vi è un intero che è semiperimetro di almeno k terne pitagoriche primitive (Lindsey Witcosky).

Se p1, p2, ..., pn sono n primi dispari consecutivi tali che p(n) < 4 / 3 * p(1) ed esiste un primo q tale che Condizione che deve essere soddisfatta da q, esistono esattamente n terne pitagoriche primitive che hanno perimetro Perimetro comune alle n terne (L. Bernstein, 1989). Per ogni valore di n esistono infinite combinazioni di primi che soddisfano i requisiti, quindi esistono infiniti interi che sono il perimetro di esattamente n terne.

 

Il minimo intero che sia perimetro di due terne pitagoriche primitive è 1716; le terne sono: (195, 748, 773) e (364, 627, 725).

Il minimo intero che sia perimetro di tre terne pitagoriche primitive è 14280; le terne sono: (119, 7080, 7081), (168, 7055, 7057) e (3255, 5032, 5993).

Il minimo intero che sia perimetro di quattro terne pitagoriche primitive è 317460; le terne sono (9435, 153868, 154157), (86099, 99660, 131701), (43660, 133419, 140381) e (13260, 151811, 152389).

 

La tabella seguente mostra i minimi interi che siano il perimetro di esattamente n terne pitagoriche primitive (Dean Hickerson, Robert C. Wilson V, Derek J.C. Radden e Peter T.C. Radden, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Intero

1

12

2

1716

3

14280

4

317460

5

1542684

6

6240360

7

19399380

8

63303240

9

239168580

10

397687290

11

458948490

12

813632820

13

562582020

14

2824441620

15

3346393050

16

6915878970

17

6469693230

18

8720021310

19

9146807670

20

8254436190

21

23065862820

22

25859373540

23

202536455550

24

327635227920

25

406393696170

26

853776413490

27

456147321630

28

401120980260

29

421868617170

30

322640788470

31

325046311590

32

265257422430

33

239378649510

34

200560490130

35

696062877510

36

645281576940

37

601681470390

38

1265440956780

39

912294643260

40

?

41

?

42

3008407351950

 

I tre numeri mancanti nella tabella sono sicuramente superiori a 3008407351950.

 

Le uniche due terne primitive note con la stessa area sono: (4485, 5852, 7373), (19019, 1380, 19069) e (3059, 8580, 9109), con area comune 13123110, scoperte da Charles L. Shedd nel 1945.

 

Tra i problemi aperti, non è noto se esistano due terne pitagoriche con lo stesso prodotto dei lati.

 

Per ogni intero n maggiore di 1 esistono almeno due terne pitagoriche, l’una primitiva, l’altra no, tali che n sia il raggio del cerchio inscritto nel triangolo.

 

Il numero di terne primitive tali che n sia il raggio del cerchio inscritto nel triangolo è 2ω(n), per n dispari e 2ω(n) – 1, per n pari; di conseguenza:

  • per ogni valore di n il numero di terne primitive è una potenza di 2;

  • se n è un primo dispari, le terne primitive sono esattamente due (2n + 1, 2n2 + 2n, n2 + 2n + 1) e (2n + 2, n2 + 2n, n2 + 2n + 2);

  • se n è una potenza di un numero primo, esiste un’unica terna.

 

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Dudeney, Henry Ernest;  The Canterbury Puzzles, Londra, Thomas Nelson, 1907.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Neville, Robbins;  "On the Number of Primitive Pythagorean Triangles with a Given Inradius" in Fibonacci Quarterly, n. 44, 2006, pag. 368 – 369.
  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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