Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pitagorici (numeri) (I)

Geometria  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Calcolo delle terne pitagoriche
  3. 3. Proprietà
  4. 4. Numero di terne
  5. 5. Terne con caratteristiche particolari
  6. 6. Combinazioni di terne

Molte proprietà dei triangoli rettangoli con lati interi si possono esprimere in termini dei valori della terna pitagorica ottenuta con le formule x = r(a2b2), y = 2ra2b2, z = r(a2 + b2). Si fa in questo caso labile il confine tra matematica e geometria, com’era ai tempi dell’antica Grecia.

 

Alcune proprietà delle terne pitagoriche:

  • il rapporto tra area e quadrato del semiperimetro, uguale a Rapporto tra area e quadrato del semiperimetro, è unico per ogni terna primitiva, ma condiviso da tutte le terne generate dagli stessi valori di a e b, con r differente;

  • tre interi x, y e z con x pari formano una terna pitagorica se e solo se esistono due interi u e v, con v dispari e u < v < 2u, tali che x = 2uvu2, y = 2uvv2, z = 2u2 – 2uvv; in tal caso il perimetro del triangolo è 2uv.

 

Utilizzando le formule fondamentali sui triangoli, si dimostra facilmente che in un triangolo, nel quale le lunghezze dei lati costituiscano una terna pitagorica, sono interi:

  • il raggio del cerchio inscritto, uguale a rb(ab);

  • il raggio del cerchio exinscritto all’esterno del cateto x, uguale a ra(ab);

  • il raggio del cerchio exinscritto all’esterno del cateto y, uguale a rb(a + b);

  • il raggio del cerchio exinscritto all’esterno dell’ipotenusa, uguale a ra(a + b).

Il raggio del cerchio circoscritto, uguale alla metà dell’ipotenusa, è invece intero se e solo se r è pari.

 

Le curvature dei cerchi inscritti e exinscritti moltiplicate per l’area del triangolo danno 4 numeri interi k, l, m, n, tali che (k + l + m + n)2 = 2(k2 + l2 + m2 + n2).

 

La formula per il raggio del cerchio inscritto era già nota al matematico cinese Liu Hui (regno di Wei, oggi Cina, 220 – Cina, 280), che la riportò nel 263 in un commento a Jiuzhang suanshu (comunemente chiamato “I nove capitoli dell’arte matematica”), antico testo di matematica cinese di datazione incerta, tra il 200 a.C. e il 50 a.C. secondo gli esperti moderni, ma che secondo Hui risalirebbe al 1000 circa a.C.. Il libro fu il principale testo di studio per i matematici in Cina e nei paesi limitrofi fino al 1600.

 

E’ possibile dimostrare che in una terna primitiva:

  • uno dei cateti è multiplo di 4, l’altro è dispari, come l’ipotenusa;

  • esattamente uno dei cateti è multiplo di 3;

  • esattamente un lato è multiplo di 5;

  • la somma e la differenza dei cateti divise per 8 danno resto 1 o 7 (Frenicle de Bessy, 1676);

  • l’ipotenusa divisa per 12 dà resto 1 o 5, come già affermato in un manoscritto arabo del 972;

  • l’altezza relativa all’ipotenusa non è un numero intero;

  • la somma dell’ipotenusa e del cateto dispari è il doppio di un quadrato;

  • la differenza tra l’ipotenusa e il cateto dispari è il doppio di un quadrato;

  • la differenza tra l’ipotenusa e il cateto pari è un quadrato;

  • tutti i fattori primi dell’ipotenusa sono della forma 4k + 1;

  • se l’ipotenusa è un quadrato, 5, 7 e 24 dividono uno dei lati (Bourdat, 1850);

  • se l’ipotenusa è una quarta potenza, uno dei lati è multiplo di 336 (Bourdat, 1850);

 

E’ possibile dimostrare che in una terna qualsiasi, cioè in un qualsiasi triangolo rettangolo con lati interi:

  • almeno uno dei cateti è multiplo di 4;

  • almeno uno dei cateti è multiplo di 3;

  • almeno un lato è multiplo di 5;

  • tutti i lati sono pari, oppure solo un cateto lo è;

  • come conseguenza dei primi tre punti, il prodotto dei cateti è multiplo di 12 e il prodotto dei lati è multiplo di 60 (Frenicle de Bessy, 1676);

  • uno dei cateti o la loro somma o la loro differenza è un multiplo di 7 (J. Liouville);

  • se i lati sono tutti pari, il perimetro divide l’area;

  • l’area è un multiplo di 6.

  • il perimetro divide il prodotto dei cateti e quindi divide il doppio dell’area;

  • il perimetro divide l’area se e solo se la differenza tra l’ipotenusa e uno dei cateti è un multiplo di 4; in particolare ciò accade se tutti i lati sono pari.

  • al massimo uno dei lati è un quadrato;

  • l’area è un numero conguente;

  • l’area non è un quadrato o il doppio di un quadrato (Fermat);

  • almeno un fattore primo dell’ipotenusa è della forma 4k + 1;

  • l’ultima cifra dell’area è 0, 4 o 6;

  • (xy)2, z2 e (x + y)2 sono tre quadrati in progressione aritmetica.

 

Sono state anche stabilite proprietà necessarie o sufficienti perché un intero possa far parte di una terna o essere legato a essa:

  • tutti gli interi sono parte di una terna pitagorica primitiva, tranne 1, 2 e i numeri della forma 4k + 2;

  • tutti gli interi sono parte di una terna pitagorica, tranne 1 e 2; si può quindi affermare che tutti i numeri naturali sono pitagorici, tranne 1 e 2;

  • tutti e soli gli interi maggiori di 1 e dispari o multipli di 4 sono il cateto minore di una terna pitagorica primitiva.

  • tutti gli interi sono il cateto minore di una terna pitagorica, tranne 1, 2 e 4;

  • qualsiasi intero è la differenza dei cateti di infinite terne;

  • qualsiasi intero che abbia solo fattori primi della forma 8n + 1 è la differenza dei cateti di infinite terne primitive (Frenicle 1641);

  • la differenza tra i cateti è 1 quando l’ipotenusa è un numero di Pell di indice dispari;

  • non esiste nessuna terna pitagorica formata da tre numeri di Fibonacci; se ne conoscono solo due che ne contengano due: (3, 4, 5) e (5, 12, 13); alcuni esperti ritengono che non ve ne siano altre;

  • due terne pitagoriche primitive non possono condividere l’ipotenusa e un cateto;

  • se x, y e z sono una terna pitagorica, P3(x) + P3(y) = P3(z), dove P3(n) è il numero di rappresentazioni di n come somma di 3 interi positivi (Jack Garfunkel, 1981);

  • nessun primo o potenza di primo è semiperimetro di una terna pitagorica primitiva ((Lindsey Witcosky);
  • se p è un primo dispari, vi è una sola terna pitagorica primitiva con perimetro 2p(p + 2) (Lindsey Witcosky);
  • se p è un primo dispari maggiore di 5 e della forma 3k + 2, vi sono esattamente due terne pitagoriche primitive con perimetro 12p(p + 2) (Lindsey Witcosky).
  • se p è un primo dispari, vi è una sola terna pitagorica primitiva con perimetro 2n + 1pk, se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché esista una sola terna pitagorica primitiva con perimetro 2^(n + 1) * p^k (Lindsey Witcosky).

 

La tabella seguente mostra i minimi interi di una sequenza di esattamente n interi consecutivi che possano essere l’ipotenusa di una terna pitagorica, per n fino a 39 (Ray Chandler e Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Minimo intero

1

5

2

25

3

39

4

50

5

218

6

775

7

949

8

673

9

403

10

1597

11

2190

12

2820

13

6050

14

8577

15

12423

16

27325

17

34075

18

52754

19

37088

20

74649

21

68150

22

43795

23

106368

24

102227

25

225809

26

149297

27

87594

28

694398

29

820953

30

575377

31

741617

32

776230

33

169160

34

2218014

35

?

36

?

37

?

38

2906397

39

1884817

I tre numeri mancanti nella tabella sono sicuramente superiori a 3 · 106.

 

Determinare quali numeri siano aree di triangoli rettangoli con lati razionali, ossia quali interi siano numeri congruenti, è un problema irrisolto nel caso generale; la soluzione minima è 5, nel triangolo con lati (3 / 2, 20 / 3, 41 / 6), che è il triangolo con lati (9, 40, 41), rimpicciolito di un fattore 6.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Dudeney, Henry Ernest;  The Canterbury Puzzles, Londra, Thomas Nelson, 1907.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Neville, Robbins;  "On the Number of Primitive Pythagorean Triangles with a Given Inradius" in Fibonacci Quarterly, n. 44, 2006, pag. 368 – 369.
  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.