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Pitagorici (numeri) (I)

Geometria  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Calcolo delle terne pitagoriche
  3. 3. Proprietà
  4. 4. Numero di terne
  5. 5. Terne con caratteristiche particolari
  6. 6. Combinazioni di terne

Vi sono vari metodi che permettono di generare tutte le terne pitagoriche o terne con caratteristiche particolari.

 

Sembra che già i Babilonesi conoscessero le formule x = 2n, y = n2 – 1, z = n2 + 1, tramite le quali si possono generare infinite terne, anche se non sembra conoscessero la formula generale.

 

Tutte le terne pitagoriche si possono ottenere tramite le formule x = r(a2b2), y = 2ra2b2, z = r(a2 + b2), con a > b, a e b interi primi tra loro, uno pari e l’altro dispari (Euclide); se r = 1, i tre numeri non hanno un divisore comune e la terna è primitiva.

Da notare che se nelle formule si sostituiscono a, b e r con tre polinomi qualsiasi A(x), B(x) e R(x), si ottengono tre polinomi X(x), Y(x) e Z(x), tali che X(x)2 + Y(x)2 = Z(x)2 e se A(x) e B(x) sono primi tra loro e R(x) è 1, i tre polinomi ottenuti non hanno un fattore comune.

 

Due metodi di interesse storico per generare terne pitagoriche sono:

  • x = n, Formula di Pitagora per y, Formula di Pitagora per z, per n dispari (Pitagora, intorno al 540 a.C.);

  • x = n, Formula di Platone per y, Formula di Platone per z, per n pari (Platone, intorno al 380 a.C.).

Le attribuzioni dei due metodi sono di Proclo (8/2/412 – 17/4/485) ed è possibile che fossero noti in epoche precedenti. Dal primo metodo, utilizzando valori razionali per n e moltiplicando i tre lati per un intero opportuno, si possono ottenere tutte le terne.

 

Data una sequenza di numeri di Fibonacci generalizzati, definiti tramite la ricorrenza Gn = Gn – 1 + Gn – 2, per qualsiasi valore intero di G0 e G1, i tre numeri GnGn + 3, 2Gn + 1Gn + 2Formula per z costituiscono una terna pitagorica (H.L. Umansky, 1956).

 

Un metodo per generare infinite terne pitagoriche è prendere due frazioni egizie con differenti denominatori con la stessa parità e sommarle: numeratore e denominatore della somma costituiscono i cateti di una terna pitagorica; rimane solo da calcolare l'ipotenusa. Per esempio, prendendo 1 / 21 / 4 abbiamo 1 / 2 + 1 / 4 = 3 / 4 e 3 e 4 sono i cateti di una terna pitagorica con ipotenusa 5; prendendo invece 1 / 31 / 5 abbiamo 1 / 3 + 1 / 5 = 8 / 15 e 8 e 15 sono i cateti di una terna pitagorica con ipotenusa 17.

Questo metodo non permette però di generare tutte le terne.

 

Un altro metodo che coinvolge frazioni per generare tutte terne pitagoriche è il seguente: si prendono due frazioni, non necessariamente ridotte ai minimi termini, il cui prodotto sia 2, si somma 2 a entrambe e si moltiplica il numeratore di ognuna per il denominatore dell’altra; i prodotti ottenuti sono i cateti di una terna pitagorica. Per esempio, prendendo 1 / 3 e 6 / 1, sommando 2 abbiamo 7 / 38 / 1 e i prodotti sono 7 e 24, cateti della terna con ipotenusa 25.

In questo modo si generano tutte le terne primitive, se entrambe le frazioni sono ridotte ai minimi termini, tutte le terne non primitive se almeno una delle frazioni non lo è.

In effetti questo metodo è equivalente alle formule di Euclide, anche se serve qualche passaggio per dimostrarlo.

 

B. Berggren dimostrò nel 1934 che tutte le terne pitagoriche primitive possono essere ottenute dalla terna (3, 4, 5) applicando ripetutamente, in ordine opportuno, una o più delle seguenti trasformazioni (nelle quali x’, y’ e z’ sono i lati della nuova terna:

  • x’ = x − 2y + 2z, y’ = 2xy + 2z, z’ = 2x − 2y + 3z;

  • x’ = x + 2y + 2z, y’ = 2x + y + 2z, z’ = 2x + 2y + 3z;

  • x’ = −x + 2y + 2z, y’ = −2x + y + 2z, z’ = −2x + 2y + 3z.

Per esempio, partendo dalla terna (3, 4, 5):

  • la prima trasformazione produce la terna (5, 12, 13);

  • la seconda trasformazione produce la terna (21, 20, 29);

  • la terza trasformazione produce la terna (15, 8, 17).

 

Esiste una formula poco nota per “sommare” due triangoli rettangoli: se x1, y1 e z1 sono (nell’ordine) cateti e ipotenusa dell’uno e se x1, y1 e z1 cateti e ipotenusa dell’altro, un terzo triangolo, in un certo senso “somma” dei precedenti, ha cateti x1x2y1y2, x1x2 + y1y2 e ipotenusa z1z2.

 

Si chiamano “quadruple pitagoriche” le quadruple di interi x, y, w e z tali che x2 + y2 + w2 = z2; geometricamente sono le lunghezze degli spigoli di un parallelepipedo rettangolo con spigoli e diagonale interna interi.

Le formule generali per produrle tutte sono: x = r|m2 + n2p2q2|, y = 2r(mq + np), w = 2r|nqmp|; z = r(m2 + n2 + p2 + q2), per n, m, p e q interi positivi, senza un divisore comune ai quattro numeri e tali che tra essi non ve ne siano esattamente due pari (Catalan, 1885). La quaterna è primitiva se r = 1.

Frequentemente si trova nei testi una soluzione più semplice, ottenibile da quella generale prendendo q = 0, che però non permette di generare tutte le combinazioni: x = r|m2 + n2p2|, y = 2rnp, w = 2rmp; z = r(m2 + n2 + p2) (Mordell, 1969).

Un altro metodo semplice che genera infinite quadruple, ma non tutte, è prendere x = a, y = b, Formula per w, Formula per z, per a e b interi, l’uno pari, l’altro dispari.

 

Infinite identità per produrre quadruple pitagoriche possono essere costruite partendo dall’identità (ax2 + 2(a + 2b)xy – 3ay2)2 + (bx2 – 2(2a + b)xy – 3by2)2 + ((a + b)x2 – 2(ab)xy – 3(a + b)y2)2 = (a2 + b2 + (a + b)2)(x2 + 3y2)2, cercando un quadrato rappresentabile come somma di quattro quadrati, in modo che la somma di due delle basi dei quadrati sia un’altra base della rappresentazione.

Per esempio, partendo da 22 + 42 + 52 + 62 = 92, ossia 22 + 42 + 62 = 92 – 52, abbiamo che 2 + 4 = 6; sostituendo a = 2 e b = 4 otteniamo (2x2 + 20xy – 6y2)2 + (4x2 – 16xy – 12y2)2 + (6x2 +4xy – 18y2)2 = (22 + 42 + 62)(x2 + 3y2)2 = (92 – 52)(x2 + 3y2)2, cioè (2x2 + 20xy – 6y2)2 + (4x2 – 16xy – 12y2)2 + (6x2 +4xy – 18y2)2 + (5x2 + 15y2)2 = (9x2 + 27y2)2.

 

Esistono metodi generali per produrre n-uple di interi tali le la loro somma sia un quadrato, per n > 1; ho trovato i seguenti, che probabilmente sono noti da secoli:

  • scelti n interi ak, senza divisori comuni a tutti e tali che la loro somma sia dispari, l’insieme è costituito da Formula per x(1) e xk = 2a1ak per 1 < kn;

  • scelti n – 1 interi xk, in modo che tra essi i numeri dispari siano in numero dispari o multiplo di 4 (quindi non, per esempio, 2 o 6), si calcola Formula per s, dopodiché si prende un intero t che divida s, se s è dispari, che divida s / 2 e sia pari, se s è pari (in questo caso s è multiplo di 4) e si completa l’insieme con Formula per x(n);

  • scelti a piacere n – 1 interi xk, si calcola Formula per s, si esprime s come s = 4mt, con t intero non divisibile per 4, dopodiché: se t è 1, l’insieme si completa con Formula per x(n), altrimenti con Formula per x(n); se xn non è intero, bisogna moltiplicare tutti i numeri per 2 o 4.

Il primo metodo è forse leggermente più semplice, ma gli altri due producono tutti gli insiemi possibili e forniscono tutti i possibili completamenti di un insieme di n – 1 interi.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Dudeney, Henry Ernest;  The Canterbury Puzzles, Londra, Thomas Nelson, 1907.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Neville, Robbins;  "On the Number of Primitive Pythagorean Triangles with a Given Inradius" in Fibonacci Quarterly, n. 44, 2006, pag. 368 – 369.
  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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