Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Lagrange (numeri di)

Algebra  Rappresentazione dei numeri  Vari 

Adolf Hurwitz (Hildesheim, Germania, 26/3/1859 – Zurigo, 18/11/1919) dimostrò che ogni numero irrazionale r può essere approssimato da infinite frazioni p / q in modo che Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra r e l'approssimazione razionale e che in generale non si può aumentare la costante Radice quadrata di 5, migliorando un teorema di Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, allora impero francese, oggi Germania, 13/2/1805 – Göttingen, Germania, 5/5/1859), nel quale la costante a denominatore è 1.

I numeri irrazionali possono però essere divisi in gruppi di numeri, detti “associati”, per i quali la costante al denominatore è la stessa. I numeri associati tra loro, se rappresentati come frazione continua, da un certo punto in poi hanno tutti i termini identici. Inoltre se x e y sono associati, esistono 4 interi a, b, c e d tali che Relazione tra due numeri associati e |adbc| = 1.

 

Il rapporto aureo φ e i numeri a esso associati hanno la peggior costante, Radice quadrata di 5, che non può essere aumentata, quindi in un certo senso questi numeri sono quelli che peggio si approssimano con razionali. In altre parole, servono denominatori maggiori a parità di precisione ottenuta.

Tolti questi, per i rimanenti numeri la costante può essere portata a Radice quadrata di 8, che vale per Radice quadrata di 2 e i numeri associati.

Eliminando anche questi, la costante può essere portata a sqrt(221) / 5 e così via: i valori della costante ottenibili eliminando ogni volta la categoria peggiore tra le restanti sono i numeri di Lagrange e costituiscono una successione crescente, che tende a 3, di numeri della forma Formula per i numeri di Lagrange, dove mn è l’n-esimo numero di Markoff.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri di Lagrange.

n

mn

Ln

Valore approssimato

1

1

Numero di Lagrange L(1)

2.2360679775

2

2

Numero di Lagrange L(2)

2.8284271247

3

5

Numero di Lagrange L(3)

2.9732137495

4

13

Numero di Lagrange L(4)

2.9960526299

5

29

Numero di Lagrange L(5)

2.9992071881

6

34

Numero di Lagrange L(6)

2.9994232433

7

89

Numero di Lagrange L(7)

2.9999158344

8

169

Numero di Lagrange L(8)

2.9999766581

9

194

Numero di Lagrange L(9)

2.9999822864

10

233

Numero di Lagrange L(10)

2.9999877200

11

433

Numero di Lagrange L(11)

2.9999964442

12

610

Numero di Lagrange L(12)

2.9999982084

13

985

Numero di Lagrange L(13)

2.9999993129

14

1325

Numero di Lagrange L(14)

2.9999996203

15

1597

Numero di Lagrange L(15)

2.9999997386

16

2897

Numero di Lagrange L(16)

2.9999999206

17

4181

Numero di Lagrange L(17)

2.9999999619

18

5741

Numero di Lagrange L(18)

2.9999999798

19

6466

Numero di Lagrange L(19)

2.9999999841

20

7561

Numero di Lagrange L(20)

2.9999999883

 

L’esponente 2 a denominatore non può essere aumentato per i numeri algebrici (teorema di Roth); i numeri trascendenti, invece, si comportano meglio: il teorema di Thue – Siegel – Roth garantisce che per ogni numero trascendente x si possono trovare infinite frazioni p / q tali che Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra r e l'approssimazione razionale, con n non minore di 2 e spesso molto maggiore.

 

Il cosiddetto spettro di Lagrange comprende i denominatori dei numeri di Lagrange, che sono i numeri di Markoff dispari e la metà dei numeri di Markoff pari, tutti i numeri maggiori di Formula per il valore di K (G. A. Freiman 1985) e un’infinità numerabile di sequenze tra 3 e K con alcuni intervalli vuoti, come per esempio, tra Radice quadrata di 12 e Radice quadrata di 13 (O. Perron 1921).

 

Esiste uno stretto legame tra lo spettro di Lagrange e un altro insieme, apparentemente non correlato. Consideriamo le funzioni di due variabili definite come f(x, y) = αx2 + βxy + γy2, che al variare di x e y assumano sia valori positivi che negativi, e definiamo Formula per la definizione di m(α, β), dove l’estremo inferiore va calcolato su tutti i possibili valori di x e y, non contemporaneamente nulli. L’insieme dei valori di questa funzione m si chiama spettro di Markoff e contiene tutti i valori dello spettro di Lagrange, più infiniti altri tra 3 e K.

 

Che succede se invece di un unico numero reale si cerca di approssimare un insieme di n numeri, r1, r2 ... rn, mediante frazioni con lo stesso denominatore? In tal caso esistono infiniti gruppi di valori q, p1, p2 ... pn tali che Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra r e l'approssimazione razionale, dove la costante cn è relativa al caso peggiore e dipende dal numero di reali che si vogliono approssimare.

I valori di tali costanti per n > 1 non sono noti tuttavia sappiamo che:

  • Formula per il valore di c(1);
  • Limiti inferiore e superiore per il valore di c(2) (G. Szekeres, 1984, W.G. Novak, 1981);
  • Limiti inferiore e superiore per il valore di c(3) (T.W. Cusik, 1980);
  • Limiti inferiore e superiore per il valore di c(4) (S. Krass, 1985);
  • Limiti inferiore e superiore per il valore di c(5) (S. Krass, 1985);
  • Limiti inferiore e superiore per il valore di c(6) (S. Krass, 1985).

I limiti superiori sopra riportati per cn si devono a W.G. Spohn, che nel 1968 dimostrò che Limite superiore per il valore di c(n).

Gli esperti sono convinti che c(2) = 2 / 7, ma non esiste ancora una dimostrazione.

Vedi anche

Numeri di Markoff.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.