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Mordell (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Un’equazione diofantea descrive una curva in uno spazio multidimensionale; nel 1922 L.J. Mordell propose la congettura che se la curva è polinomiale, irriducibile, non singolare (cioè ammette una tangente in ogni suo punto) ed è di genus maggiore di 1, contiene un un numero finito di punti con coordinate razionali, ossia l’equazione ha un numero finito di soluzioni razionali.

Il genus di una curva è il numero massimo di tagli chiusi che possono essere praticati, senza dividerla in parti separate; informalmente il genus è il numero di buchi della superficie. Per esempio, piano e sfera hanno genus 0, il toro o una tazza con un manico hanno genus 1.

 

La congettura di Mordel è una conseguenza della congettura “abc”, nel senso che si può dimostrare supponendo la verità di questa, ma non viceversa (Noam D. Elkies, 1991).

 

Nel 1983 Gerd Faltings dimostrò che la congettura è vera, quindi la congettura è oggi nota anche come “teorema di Faltings”.

Il teorema permette anche di stabilire un limite superiore al numero di punti razionali, sebbene molto grande, ma non di stabilire un limite superiore per numeratori e denominatori.

 

Le curve di genus 0 hanno nessun punto razionale o ne hanno infiniti; quelle di genus 1 o non ne hanno, o ne hanno che formano un gruppo abeliano con un numero finito di generatori (teorema di Mordell – Weil) e possono essere in numero finito o meno.

Per esempio:

  • la curva di genus 0 ax + by = c ha infinite soluzioni razionali, se c è multiplo del massimo divisore comune di a e b, nessuna altrimenti;

  • la curva di genus 1 3x3 + 4y3 + 5z3 = 0 non ha soluzioni razionali;

  • la curva di genus 1 y2z = x3xz2 ha infinite soluzioni razionali;

  • la curva di genus 2 x4 + y4 = z4 non ha soluzioni razionali.

 

Una delle conseguenze è una dimostrazione di una forma debole del teorema di Fermat: la curva xn + yn = zn ha genus Genus della curva x^n + y^n = z^n, maggiore di 1 per n > 3, quindi ha al massimo un numero finito di soluzioni razionali o intere.

 

Nel 1920 Carl Ludwig Siegel dimostrò che una curva di genus maggiore di zero ha al massimo un numero finito di punti con coordinate intere, quindi la corrispondente equazione ha al massimo un numero finito di soluzioni intere.

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