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Pillai (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (Nagercoil, India, 5/4/1901 – Il Cairo, 31/8/1950) dimostrò nel 1931 che:

  • fissati gli interi a e b e con m e n non entrambi uguali a 2, |axmbyn| > xλn, per ogni λ < 1 tranne per un numero finito di eccezioni;

  • fissati gli interi a e b primi tra loro, l’equazione axby = azbw ha al massimo un numero finito di soluzioni intere;

  • fissati gli interi a e b, l’equazione axby = c ha al massimo una soluzione intera per c abbastanza grande;

  • fissati gli interi a e b, il numero di interi c inferiori a n per i quali l’equazione axby = c ha soluzioni intere tende a Limite asintotico numero di interi c inferiori a n per i quali l’equazione a^x – b^y = c ha soluzioni intere.

I suoi studi lo portarono ad avanzare nel 1936 la congettura che, fissati gli interi a, b e c, l’equazione, axmbyn = c abbia solo un numero finito di soluzioni intere, con m e n maggiori di 1 e non entrambi uguali a 2: una generalizzazione della congettura di Catalan, divenuta nota come “congettura di Pillai”.

 

La congettura è una conseguenza della congettura “abc” e implica che la differenza tra potenze successive tenda a infinito.

 

La congettura è stata dimostrata vera solo in alcuni casi particolari, ma è tuttora aperta nel caso generale. Persino il caso a = b = 1 non è completamente risolto: non solo non è noto se xmyn = 2 abbia un numero finito di soluzioni intere, ma non è neppure noto se xmyn = 6 abbia soluzioni intere.

 

La maggioranza delle ricerche si è concentrata sul caso a = b = 1 e spesso la congettura di Pillai si trova riportata in questa forma più debole. La situazione attuale può essere riassunta nella forma: l’equazione xmyn = c ha al massimo un numero finito di soluzioni se una delle variabili x, y, m o n è fissata (A. Schinzel e Robert Tijdeman, 1976).

Pillai estese la dimostrazione a due basi fissate x e y qualsiasi, se |2^m – 3^n| > 2^m / e^(m / 10) è irrazionale, e all’equazione |axmbyn| = c, con a, b, x e y fissati e x e y primi tra loro.

 

A. Herschfeld dimostrò nel 1936 che l’equazione |2m – 3n| = c ha al massimo una soluzione per c abbastanza grande. Herschfeld dimostrò anche che per c non maggiore di 10 vi sono due soluzioni solo nel casi 31 – 21 = 32 – 23 = 1 e 23 – 31 = 25 – 33 = 5.

W.J. Ellison dimostrò nel 1971 che |2^m – 3^n| > 2^m / e^(m / 10), per m > 11 e diverso da 13, 14, 16, 19 e 27.

 

Robert Tijdeman nel 1976 dimostrò che la congettura è vera nel caso a = b = c = 1  (v. congettura di Catalan).

 

R.J. Stroeker e Robert Tijdeman dimostrarono nel 1982 che |3m – 2n| = c ha al massimo una soluzione intera per c > 13, come aveva supposto Pillai.

 

I lavori di J. Turk (1986), B.Brin dza, J.-H. Evertse e K. Györy (1991) e Y. Bugeaud (1996) permisero di stabilire che se xm è diverso da yn, |x^m – y^n| > n^(2 / (5 * m)) / (y^(6 + 42 / m) * m^5).

 

Le Mao Hua dimostrò nel 1992 che se b è maggiore di 8 • 106 ed è della forma 8k + 5 e c è una potenza di un primo, l’equazione x2 + by = cz ha soluzioni solo per y = z = 2.

 

Nel 2000 Michael A. Bennet dimostrò che |(x + 1)mxn| = c ha al massimo una soluzione con interi maggiori di zero per x > 1, tranne nei casi:

  • |3m – 2n| = 1, che ha le soluzioni |31 – 21| = 1, |31 – 22| = 1, e |32 – 23| = 1;

  • |3m – 2n| = 5, che ha le soluzioni |31 – 23| = 5, |32 – 22| = 5 e |33 – 25| = 5;

  • |3m – 2n| = 7, che ha le soluzioni |32 – 21| = 7 e |32 – 24| = 7;

  • |3m – 2n| = 13, che ha le soluzioni |31 – 24| = 13 e |35 – 28| = 13;

  • |3m – 2n| = 23, che ha le soluzioni |32 – 25| = 23 e |33 – 22| = 23;

  • |4m – 3n| = 13, che ha le soluzioni |42 – 31| = 13 e |44 – 35| = 13.

Nel 2001 lo stesso Bennet dimostrò che fissati x e y e c, con x e y maggiori di 1, l’equazione xmyn = c ha al massimo due soluzioni, tranne le prime due eccezioni elencate sopra.

 

Nel 2006 Reese Scott e Robert Styer dimostrarono che, fissati gli interi x, y e c con x > y > 1 e c > 0, l’equazione ±xm ± yn = c ha al massimo due soluzioni in interi maggiori di 0, tranne nei casi:

  • ±3m ± 2n = 1, che ha le soluzioni 31 – 22 = 1, –31 + 22 = 1, 32 – 23 = 1;

  • ±3m ± 2n = 5, che ha le soluzioni 31 + 21 = 5, –32 + 23 = 5, 32 – 22 = 5, –33 + 25 = 5;

  • ±3m ± 2n = 7, che ha le soluzioni 31 + 22 = 7, 32 – 21 = 7, –32 + 24 = 7;

  • ±3xm ± 2yn = 11, che ha le soluzioni 3 + 23 = 11, 32 + 21 = 11, 33 – 24 = 11;

  • ±3m ± 2n = 13, che ha le soluzioni 32 + 22 = 13, –31 + 24 = 13, –35 + 28 = 13;

  • ±5m ± 2n = 3, che ha le soluzioni 51 – 21 = 3, –51 + 23 = 3, –53 + 27 = 3;

  • ±4m ± 2n = 3 • 4k, per k > 0, che ha le soluzioni 4k + 22k + 1 = 3 • 4k, –4k + 22k + 2 = 3 • 4k, 42k + 22k = 3 • 4k.

Tra i pochi casi nei quali ±xm ± yn = c abbia due soluzioni segnalo:

  • ±5m ± 3n = 2, con soluzioni 51 – 31 = 2, (±5)2 + 33 = 2;

  • ±11m ± 2n = 7, con soluzioni 111 – 21 = 7, (±11)2 + 27 = 7;

  • ±13m ± 3n = 10, con soluzioni 131 – 31 = 10, 133 – 37 = 10.

 

A proposito dell’equazione ±pm ± 2n = c con p primo, Scott e Styer dimostrarono che:

  • per p > 5, esistono al massimo due valori di c tali che l’equazione abbia due soluzioni;

  • se Mp = 2p – 1 è un primo di Mersenne maggiore di 3, ±M(p)^m ± 2^n = c ha due soluzioni solo nei casi M(p)^1 ± 2^1 = c–M(p)^1 + 2^(p + 1) = c oppure M(p)^1 + 2^p = c e –M(p)^2 + 2^(2 * p) = c;

  • se Fk =22k + 1è un primo di Fermat maggiore di 5, ±F(k)^m ± 2^n = c ha due soluzioni solo nei casi F(k)^1 – 2^1 = c–F(k)^1 + 2^(2^k + 1) = c oppure F(k)^1 + 2^(2^k) = c e F(k)^2 + 2^(2^k + 1) = c;

  • a parte questi casi, l’equazione può avere due soluzioni solo se p è un primo di Wieferich maggiore di 1.25 • 1015, oppure se p è un primo della forma 16k + 1 maggiore di 108.

 

Nel 2006 Reese Scott e Robert Styer dimostrarono che, fissati p, q e r primi, l’equazione px + qy = rz ha al massimo una soluzione con x, y e z interi positivi.

 

Un altro caso molto studiato, perché relativamente più semplice, è quello in cui gli esponenti sono uguali:

  • Trygve Nagell (Oslo, 13/7/1895 – Uppsala, Svezia, 24/1/1988) dimostrò nel 1925 che se a > 0, b non è un cubo e c è 1 o 3, l’equazione ax3 – by3 = c ha al massimo una soluzione nella quale x e y siano interi non nulli, tranne nel caso di 2x3 + y3 = 3, che ha le due soluzioni x = y = 1 e x = 4, y = –5;

  • Ljunggren dimostrò nel 1938 che l’equazione ax4by4 = ±c, nella quale a e b sono interi positivi e c è 1, 2, 4 o 8, ha al massimo una soluzione con interi maggiori di zero;

  • Y. Domar dimostrò nel 1954 che l’equazione axnbyn = ±1 con n > 4 ha al massimo due soluzioni con interi maggiori di zero;

  • Seppo Juhani Hyyrö (Mynämäki, Finlandia, 11/7/1936) dimostrò nel 1964 che per n > 4 l’equazione xnbryn = ±1 ha al massimo una soluzione intera con 0 ≤ r < n, x > 1, y > 0 e se n è 5 o 6, x è maggiore di 2;

  • Robert Tijdeman dimostrò nel 1973 che axnbyn = ±c con a, b e c maggiori di zero e n > 2 ha un numero finito di soluzioni intere;

  • J.H. Evertse dimostrò nel 1983 che l’equazione axnbyn = ±c con a, b e c non nulli e n > 2 ha al massimo 2nω(c) + 6 soluzioni con interi maggiori di zero;

  • l’equazione axnbyn = ±1 con a e b non nulli e n > 2 ha al massimo una soluzione con interi maggiori di zero.

 

Si sa molto meno sulla forma più generale della congettura, ossia sull’equazione axmbyn = c. Di seguito elenco i principali risultati.

 

Nel 1908 Thue dimostrò che fissati gli interi a, b, x, y e c, con x e y maggiori di 1 e c maggiore di zero, l’equazione axmbyn = c ha un numero finito di soluzioni intere positive.

 

Carl Ludwig Siegel dimostrò nel 1926 che se P(x) è un polinomio irriducibile con coefficienti razionali ed ha almeno 3 zeri distinti, l’equazione P(x) = yn ha un numero finito di soluzioni con x intero e y razionale per n > 1; se n > 2 bastano due zeri distinti. Di conseguenza, fissati a, c, m e n, l’equazione |axmbyn| = c ha un numero finito di soluzioni intere.

 

Fissati gli interi a, b, c, x e y, con MCD(ax, by) = 1:

  • T.N. Shorey dimostrò nel 1986 che vi sono al massimo 9 soluzioni con axm > 953c6;

  • Z.-F. Cao dimostrò nel 1990 che se c < 3, vi sono al massimo 4 soluzioni;

  •  Le Mao Hua dimostrò nel 1992 che le soluzioni con x e y maggiori di 1 sono al massimo

    • 1, se min(a, b) = c = 1;

    • 2, se a = b = 1 e min(x, y) ≥ 105;

    • 3, se min(x, y) ≥ ee ≈ 15.1542622415.

 

M. Waldschmidt dimostrò nel 1990 che se 0 < xmyn ≤ k, con x > 0, y > 1 e xm > k, m < 1.37 • 1012logy e n < 1.37 • 1012logx.

 

Si sa inoltre che se m = n > 2 e c = ±1, esiste al massimo una soluzione intera.

 

Sulla congettura sono state compiute poche verifiche numeriche, almeno nella sua forma più generale. Si sa che, a parte i casi elencati, per c ≤ 100 l’equazione l’equazione xmyn = c non ha due soluzioni con m e n maggiori di 1 e non entrambi uguali a 2 e xm e ym non superiori a 1018 (M. Fiorentini, 2015).

Bibliografia

  • Pillai, Subbayya Sivasankaranarayana;  "On axby = c" in Journal of Indian Mathematical Society, n.2, pag. 119 – 122, 1936.

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