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Fermat – Catalan (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura di Fermat – Catalan afferma che se Formula per la congettura di Fermat – Catalan, l’equazione xn + ym = zp, ha un numero finito di soluzioni intere non banali (ossia con le incognite maggiori di zero) con x, y e z privi di divisori comuni.

Dal teorema di Faltings (v. congettura di Mordell) segue che, fissati gli esponenti e gli interi a, b e c diversi da zero, se x, y e z non hanno un divisore comune, l’equazione più generale axn + bym = czp ha solo un numero finito di soluzioni non banali con esponenti maggiori di 2 (H. Darmon e Andrew Granville, 1995), ma resta da stabilire se le combinazioni di esponenti che permettono una soluzione siano in numero finito, almeno nel caso a = b = c = 1.

 

Si conoscono solo 10 soluzioni, in tutte le quali un esponente è 2:

  • 1n + 23 = 32,

  • 25 + 72 = 34 (Nils Bruin, 2003),

  • 73 + 132 = 29 (Nils Bruin, 2005),

  • 27 + 173 = 712 (Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer e Michael Stoll, 2005),

  • 35 + 114 = 1222 (Nils Bruin, 2003),

  • 177 + 762713 = 210639282 (Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer e Michael Stoll, 2005),

  • 14143 + 22134592 = 657 (Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer e Michael Stoll, 2005),

  • 92623 + 153122832 = 1137 (Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer e Michael Stoll, 2005),

  • 438 + 962223 = 300429072 (Nils Bruin, 2005),

  • 338 + 15490342 = 156133 (Nils Bruin, 2003).

 

E’ stato dimostrato che non esistono altre soluzioni con interi primi tra loro e diversi da zero per le seguenti combinazioni di esponenti:

  • (2, 3, 7) (Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer e Michael Stoll, 2007);

  • (2, 3, 8) (Nils Bruin, 1999);

  • (2, 3, 9) (Nils Bruin, 2005);

  • (x = 2, y = 3, z = 10) (David Brown, 2012);

  • (2, 3, 11) (Nuno Freitas, Bartosz Naskręcki, and Michael Stoll, 2017);

  • (2, 3, 15) (Samir Siksek e Michael Stoll);

  • (2, 4, 5) (Nils Bruin, 2003);

  • (2, 4, 6) (Nils Brujn, 1999);

  • (2, 4, 7) (Ghioca);

  • (x = 2, y = 4, z = n), per n primo e maggiore di 210 (J. Ellenberg, 2004);

  • (x = 2, y = 4, z = n), per n > 3 (Michael A. Bennett, J. Ellenberg, N. Ng e N. Bruin);

  • (x = 2, y = 6, z = n), per n > 2 (Michael A. Bennett, Imin Chen e N. Bruin);

  • (x = 2, y = n, z = 4), per n primo e maggiore di 5 (H. Darmon, 1996);

  • (x = 2, y = n, z = 4), per n > 2 (Michael A. Bennett, C. Skinner e N. Bruin);

  • (x = 2, y = n, z = 6), per n > 2 (Michael A. Bennett, Imin Chen, Sander R. Dahmen e Soroosh Yazdani);

  • (x = 2, y = 2n, z = 3), per n primo, diverso da 31 e 7 < n < 1000 (Imin Chen, 2008);

  • (x = 2, y = 2n, z = 3), per 3 < n < 107 o n ≡ 5 mod 6 (Sander R. Dahmen, 2011);

  • (x = 2, y = 2n, z = 5), per n primo, maggiore di 17 e n ≡ 1 mod 4 (Imin Chen, 2010);

  • (x = 2, y = 2n, z = k), per n > 1 e k uguale a 9, 10 o 15 (Michael A. Bennett, Imin Chen, Sander R. Dahmen e Soroosh Yazdani);

  • (x = 2, y = 4n, z = 3), per n ≡ ±2 mod 5 o n ≡ ±2 mod 13 o n ≡ ±4 mod 13 (Michael A. Bennett, Imin Chen, Sander R. Dahmen e Soroosh Yazdani);

  • (2, n, n), per n primo e maggiore di 5 (H. Darmon e L. Merel, 1997);

  • (2, n, n), per n uguale a 5, 6 o 9 (Bjorn Poonen);

  • (3, 3, 4) (N. Bruin, 2000);

  • (3, 3, 5) (N. Bruin, 2000);

  • (3, 3, n), per 17 ≤ n ≤ 10000 (A. Kraus, 1998);

  • (3, 3, n), per n = 7, 11 e 13 (Sander R. Dahmen, 2008);

  • (3, 3, n), per 17 ≤ n ≤ 109 (Imin Chen, Samir Siksek, 2009);

  • (3, 3, n), per n ≡ ±2 mod 5 o n ≡ ±17 mod 78 o n ≡ 51, 103 o 105 mod 106 o n ≡ 43, 49, 61, 79, 97, 151, 157, 169, 187, 205, 259, 265, 277, 295, 313, 367, 373, 385, 403, 421, 475, 481, 493, 511, 529, 583, 601, 619, 637, 691, 697, 709, 727, 745, 799, 805, 817, 835, 853, 907, 913, 925, 943, 961, 1015, 1021, 1033, 1051, 1069, 1123, 1129, 1141, 1159, 1177, 1231, 1237, 1249, 1267, 1285 mod 1296 (A. Kraus, Imin Chen, Samir Siksek e Nuno Freitas);

  • (3, 3, 2n), per n > 1 (Michael A. Bennett, Imin Chen, Sander R. Dahmen e Soroosh Yazdani);

  • (3, 4, 4) (Édouard Lucas);

  • (3, 4, 5) (Samir Siksek e Michael Stoll, 2012);

  • (3, 5, 5) (Bjorn Poonen, 1998);

  • (x = 3, y = 6, z = n), per n > 1 (Michael A. Bennett, Imin Chen, Sander R. Dahmen e Soroosh Yazdani);

  • (3, n, n), per n primo e maggiore di 5 (H. Darmon e L. Merel, 1997);

  • (x = 3, y = 3n, z = 2), per n primo e n ≡ 1 mod 8 (Michael A. Bennett, Imin Chen e Sander R. Dahmen)

  • (x = 4, y = 2n, z = 3), per n > 1 (Michael A. Bennett, Imin Chen, Sander R. Dahmen e Soroosh Yazdani);

  • (5, 5, 7) (Sander R. Dahmen e Samir Siksek);

  • (5, 5, 19) (Sander R. Dahmen e Samir Siksek);

  • (5, 7, 7) (Sander R. Dahmen e Samir Siksek);

  • (x = 6, y = n, z = 2), per n > 2 (Michael A. Bennett, Imin Chen, Sander R. Dahmen e Soroosh Yazdani);

  • (n, n, n), per n> 3 (Wiles, 1995);

  • (n, n, 2), per n > 3 (H. Darmon, L. Merel e Bjorn Poonen);

  • (n, n, 3), per n > 3 (H. Darmon, L. Merel e Bjorn Poonen);

  • (2m, 2n, 3), per m > 1 e n ≡ 3 mod 4 (Michael A. Bennett, Imin Chen, Sander R. Dahmen e Soroosh Yazdani);

  • (2n, 2n, 5), per n > 1 (Michael A. Bennett, 2006);

  • (2m, 2k, n), per m e k primi maggiori di 3 e n uguale a 3, 5, 7, 11 o 13 (S. Anni e Samir Siksek);

  • (3m, 3k, n), per k e m maggiori di 1 e n maggiore di 1 (A. Kraus, 1998).

 

Con metodi analoghi a quelli usati nella dimostrazione del teorema di Wiles, si dimostra che xn + yn = z2 ha solo soluzioni banali se n è dispari e maggiore di 1; dato che Fermat dimostrò che questa equazione non ha soluzioni se n = 4, possiamo concludere che le uniche soluzioni di questo genere sono le terne pitagoriche, con n = 2.

 

Naturalmente se la congettura vale per un particolare esponente, vale anche per i suoi multipli; per esempio, dalla validità per esponenti 3, 4 e 5, segue la validità per esponenti 6, 4 e 5 o 3, 4 e 15.

 

La congettura è una delle conseguenze della congettura “abc” ed è ritenuta vera.

 

Se si considerano gli interi gaussiani, non è chiaro se la congettura rimanga valida; sono note le soluzioni:

  • (8 + 5i)2 + (5 + 3i)3 = (1 + 2i)7,

  • (20 + 9i)2 + (1 + 8i)3 = (1 + i)15.

 

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