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Fermat – Catalan (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura afferma che se Formula per la congettura di Fermat – Catalan, l’equazione xn + ym = zp, ha un numero finito di soluzioni intere non banali (ossia con le incognite maggiori di zero) con x, y e z privi di divisori comuni.

Dal teorema di Faltings (v. congettura di Mordell) segue che, fissati gli esponenti e gli interi a, b e c diversi da zero, l’equazione più generale axn + bym = czp ha solo un numero finito di soluzioni non banali, se x, y e z non hanno un divisore comune (H. Darmon e A. Granville, 1995), ma resta da stabilire se le combinazioni di esponenti che permettono una soluzione siano in numero finito, almeno nel caso a = b = c = 1.

 

Si conoscono solo 10 soluzioni, in tutte le quali un esponente è 2:

  • 1n + 23 = 32,

  • 25 + 72 = 34,

  • 73 + 132 = 29,

  • 27 + 173 = 712,

  • 35 + 114 = 1222,

  • 177 + 762713 = 210639282,

  • 14143 + 22134592 = 657,

  • 92623 + 153122832 = 1137,

  • 438 + 962223 = 300429072,

  • 338 + 15490342 = 156133.

 

E’ noto che non esistono soluzioni non banali per le seguenti combinazioni di esponenti:

  • 2, 3, 7 (B. Poonen, E.F. Schaefer e M. Stoll 2005);

  • 2, 3, 8 (N. Bruin, 2004);

  • 2, 3, 9 (N. Bruin, 2004);

  • 2, 4, 5 (N. Bruin, 2004);

  • 2, 4, 6;

  • 2, 4, 7 (Ghioca);

  • 3, 3, 4;

  • 3, 3, 5;

  • 2, n, n, per n > 2 (H. Darmon e L. Merel, 1997);

  • 3, n, n, per n > 1 (H. Darmon e L. Merel, 1997);

  • 2n, 2n, 5 (Bennett);

  • 2, 4, n, per n > 1 (Bennett e Skinner).

 

Con metodi analoghi a quelli usati nella dimostrazione del teorema di Wiles, si dimostra che xn + yn = z2 ha solo soluzioni banali se n è dispari e maggiore di 1; dato che Fermat dimostrò che questa equazione non ha soluzioni se n = 4, possiamo concludere che le uniche soluzioni di questo genere sono le terne pitagoriche, con n = 2.

 

La congettura è una delle conseguenze della congettura “abc” ed è ritenuta vera.

 

Se si considerano gli interi gaussiani, non è chiaro se la congettura rimanga valida; sono note le soluzioni:

  • (8 + 5i)2 + (5 + 3i)3 = (1 + 2i)7,

  • (20 + 9i)2 + (1 + 8i)3 = (1 + i)15.

 

per n > 1

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