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Hall (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura formulata da Marshall Hall Jr. nel 1970 afferma che se x e y sono interi positivi, con y2x3, allora Formula per la congettura di Hall, dove C è una costante, che Hall originariamente suggerì essere 1 / 5, e in particolare Formula per la congettura di Hall.

 

La congettura dice in sostanza che cubi e quadrati non possono essere arbitrariamente vicini, ma devono essere separati da una certa differenza minima, che aumenta al crescere dei valori.

Da notare che, fissato k, l’equazione |x3y2| = k ha al massimo un numero finito di soluzioni intere (v. congettura di Catalan), quindi k deve crescere al crescere di x; la domanda alla quale la congettura tenta di rispondere è come cresca.

 

B.J. Birch, S. Chowla, M. Hall Jr. e A. Schinzel dimostrarono nel 1965 che per ogni ε > 0 esistono infiniti interi x e y tali che Equazione diofantea con infinite soluzioni intere.

 

V.G. Sprindžuk dimostrò nel 1982 che per x > 5 e x3 diverso da y2 esiste una costante c, tale che Valore assoluto di x^3 – y^2 maggiore di c * log(x) / log(log(x))^6.

 

L.V. Danilov dimostrò nel 1982 che:

  • non esiste una costante C tale che |x3y2| > Cxd, se d maggiore di 1 / 2, quindi l’esponente non può essere aumentato;

  • l’equazione Equazione diofantea con infinite soluzioni intere ha infinite soluzioni intere;

  • per ogni ε > 0 esistono infiniti interi x e y tali che Equazione diofantea con infinite soluzioni intere.

 

Nel 1965 H. Davenport aveva dimostrato un risultato analogo per i polinomi: se A(x) e B(x) sono polinomi tali che A(x)3B(x)2, Limite inferiore per il grado del polinomio uguale alla differenza tra il cubo di A(x) e il quadrato di B(x), dove deg(P(x)) è il grado di P(x).

Andrej Dujella dimostrò nel 2010 che per ogni intero d esistono polinomiali A(x) di grado 2d e B(x) di grado 3d, tali che deg(A(x)3B(x)2) = d + 5.

 

La congettura di Hall è oggi ritenuta probabilmente falsa, alla luce del fatto che sono stati trovati valori di x e y che rendono la costante molto piccola: Elkies trovò l’esempio |58538865167812233 – 4478849284284020423079182| = 1641843, per il quale C dovrebbe valere al massimo circa 0.0214589998.

 

La congettura è stata riproposta in una forma più debole: per ogni ε > 0 esiste una costante C(ε), tale che Formula per la forma debole della congettura di Hall. In questa forma è una conseguenza della congettura “abc”.

 

La congettura di Hall è generalizzata dalla congettura di Pillai.

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