Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

John (costante di)

Analisi 

Dati due spazi di Banach X e Y (per esempio, due spazi euclidei con un numero finito di dimensioni), una funzione f(D) → Y, dove D è un sottoinsieme aperto di X, si dice quasi-isometria o mappa bi-Lipschitz se è continua, localmente uno a uno, f(D) è un insieme aperto ed esistono due numeri m e M non nulli tali che per tutti i punti x di D valga Condizione per il limite inferiore del rapporto |f(x) - f(y)| / |x - y| e Condizione per il limite superiore del rapporto |f(x) - f(y)| / |x - y|. In altri termini, la deformazione di D descritta dalla funzione altera le distanze dei punti entro limiti massimi.

 

F. John dimostrò nel 1968 che se m = M, allora Valore del rapporto |f(x) - f(y)| / |x - y|, quindi la deformazione descritta da f è un movimento rigido, seguito da una contrazione o espansione con un fattore di scala fisso.

 

Viene naturale chiedersi quale sia il massimo rapporto M / m tale che valga questo teorema. Per sfere aperte (cioè non comprendenti la superficie), J. Gevirtz dimostrò nel 1982 che è compreso tra 64 e l’unica radice reale dell’equazione Equazione per il calcolo del limite inferiore per μ(D), pari a circa 1.1143055508.

 

Inoltre, se X è uno spazio di Hilbert (e quindi in esso si possono misurare angoli) Gevirtz dimostrò che il rapporto è compreso tra Radice quadrata di 2 e 2 e se anche Y lo è, allora il rapporto è almeno Radice quadrata di 1 più radice quadrata di 2. Nel 1997 Gevirtz migliorò l’ultimo risultato, dimostrando che il massimo rapporto è almeno uguale al minimo per x > 0 della funzione Funzione per il calcolo del minimo possibile valore di μ(D), cioè Minimo possibile valore di μ(D).

 

G. Masjuán dimostrò nel 1980 che per spazi a due dimensioni il rapporto è almeno uguale al minimo per x > 0 della funzione Funzione per il calcolo del minimo possibile valore di μ(D), cioè circa 1.7124248832.

 

John considerò anche il caso in cui la funzione f sia una funzione analitica, definita sul cerchio di raggio 1 centrato nell’origine del piano complesso. In questo caso la relazione soddisfatta dalla funzione è semplicemente m ≤ |f’(z)| ≤ M e il massimo valore del rapporto M / m che garantisce che la trasformazione sia un movimento rigido seguito da un cambio di scala si chiama “costante di John”.

 

Il valore della costante non è per ora noto; i migliori limiti inferiore e superiore noti sono Limite inferiore per il valore della costante di John e eλπ ≈ 7.1879033516, dove λ è la soluzione dell’equazione Valore di λ e vale circa 0.6278342677.

 

Finch suggerisce una curiosa interpretazione fisica della costante: se la funzione f definisce una deformazione sul piano di un disco elastico, fatto di un materiale che può essere compresso sino a m volte o stirato sino a M, la costante di John è il minimo valore del rapporto che permette di far toccare tra loro due punti diversi del disco, senza piegarlo nella terza dimensione.

 

Il caso m = 1 corrisponde a un materiale che può essere stirato sino a M volte, ma non compresso e la costante è il minimo valore di M che permette di far combaciare due punti diversi del disco, sempre lasciandolo nel piano.

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