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Composti (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Fattori primi dei numeri composti
  3. 3. Numeri composti consecutivi
  4. 4. Fattori primi di numeri composti consecutivi
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di numeri composti
  6. 6. Proprietà basate sulle cifre

Qualsasi numero naturale che abbia la forma abcnabcnabcnb, ossia che rappresentato in base b sia costituito da un gruppo di n cifre ripetuto a piacere, è divisibile per tutti i fattori primi di bn + 1. Per esempio, in base 10 qualsiasi numero della forma abcabcabc … è divisibile per 7, 11 e 13 (fattori di 1001) e qualsiasi numero della forma forma abcdabcdabcd … è divisibile per 73 e 137 (fattori di 10001).

 

Il minimo intero la cui scomposizione in fattori primi contenga tutte le cifre, zero escluso, è 3122490 = 2 • 3 • 5 • 7 · 14869.

 

Se si inizia con un qualsiasi numero naturale e si calcola la somma delle cifre dei divisori, inclusi 1 e il numero stesso, si ottiene un nuovo numero, in generale minore di quello di partenza. Se si ripete il processo, partendo da un qualsiasi intero maggiore di 1, si arriva sempre, in un numero più o meno grande di passi, a 15, dopodichè si ottiene sempre lo stesso numero, perché i divisori di 15 sono 1, 3, 5 e 15 e la somma delle loro cifre è 15.

Per esempio, iniziando con 100, abbiamo:

  • i divisori di 100 sono 100, 50, 25, 20, 10, 5, 4, 2 e 1, con somma delle cifre 28;

  • i divisori di 28 sono 28, 14, 7, 4, 2 e 1, con somma delle cifre 29;

  • i divisori di 29 sono 29 e 1, con somma delle cifre 12;

  • i divisori di 12 sono 12, 6, 4, 3, 2 e 1, con somma delle cifre 19;

  • i divisori di 19 sono 19 e 1, con somma delle cifre 11;

  • i divisori di 11 sono 11 e 1, con somma delle cifre 3;

  • i divisori di 3 sono 3 e 1, con somma delle cifre 4;

  • i divisori di 4 sono 4, 2 e 1, con somma delle cifre 7;

  • i divisori di 7 sono 7 e 1, con somma delle cifre 8;

  • i divisori di 8 sono 8, 4, 2 e 1, con somma delle cifre 15.

 

Il procedimento può essere generalizzato ad altre basi; in ogni caso si finisce in un ciclo di numeri che si ripetono, eventualmente costituito da un solo numero.

La tabella seguente mostra i cicli che si raggiungono in alcune basi, ignorando il ciclo banale, formato dal solo 1, che si raggiunge solo partendo da 1 stesso, in qualsiasi base.

Base

Cicli

2

{ 2 }, { 3 }, { 6 }

3

{ 2, 3 }, { 4, 5 }, { 6 }

4

{ 4 }

5

{ 4, 7 }, { 9 }

6

{ 4, 7 }, { 16 }

7

{ 2, 3, 4, 7 }, { 12, 22 }, { 30 }

8

{ 8 }, { 18 }, { 28 }

9

{ 8, 15, 16, 23 }, { 10 }

10

{ 15 }

11

{ 10, 18, 29 }, { 15 }

12

{ 3, 4, 7, 8, 15, 13 }, { 21 }, { 36 }

13

{ 8, 15, 12, 28, 20, 30, 36, 55, 24, 48, 64, 43 }

14

{ 5, 6, 12, 28, 17 }, { 27 }

15

{ 4, 7, 8, 15, 10, 18, 25, 17 }, { 22 }, { 30 }

16

{ 12, 28, 41 }, { 16 }

17

{ 16, 31 }, { 26 }, { 28, 40, 42, 48, 76 }, { 56 }, { 90 }, { 120 }

18

{ 3, 4, 7, 8, 15, 24, 43, 10, 18, 22, 19 }

19

{ 6, 12, 28, 38 }, { 42 }, { 54, 66 }

20

{ 4, 7, 8, 15, 24, 41 }, { 5, 6, 12, 28, 37, 19, 20, 23 }

 

Se invece si sommano le cifre dei soli fattori primi si ottengono cicli molto meno interessanti: il solo ciclo { 1 } in base 2 e i cicli formati dai primi inferiori alla base nelle altre basi.

 

Che succede se si cambiano le cifre di un numero composto? Normalmente si possono ottenere numeri sia composti, sia primi; non è difficile trovare numeri che restino composti alterando una qualsiasi delle cifre: basta trovare una decina che non contenga numeri primi e prenderne il primo numero. La minima decina del genere è quella da 200 a 210, quindi se a 200 modifichiamo l’ultima cifra, otteniamo un numero composto, mentre se cambiamo una delle altre, otteniamo un numero multiplo di 10, quindi composto

Il metodo si generalizza facilmente ad altre basi, cercando in ogni base altrettanti numeri composti consecutivi, a partire da un multiplo della base.

 

W.Sierpiński pose nel 1977 il problema di determinare il minimo intero che rimanga composto se si alterano in qualsiasi modo due delle sue cifre e in seguito il problema fu precisato, ammettendo la modifica di una o due cifre. Si può ammettere o meno il cambio della cifra iniziale in zero, quindi abbiamo due varianti.

Si ritiene che esistano infinite soluzioni in ogni base, ma per ora l’unica dimostrazione poggia su una congettura di Erdös non ancora dimostrata.

La soluzione per la base 10 fu trovata solo nel 2007 da Witold Jarniki e MaciejŽenczykowski.

 

La tabella riporta le soluzioni per basi fino a 10, solo quelle per la base 10 non sono state dimostrate essere minime.

Base

Singola cifra

Una o due cifre, la cifra iniziale può divenire zero

Una o due cifre, la cifra iniziale non può divenire zero

2

10002 = 8

10101002 = 84

10101002 = 84

3

2203 = 24

22001003 = 1953

22001003 = 1953

4

2204 = 32

201300004 = 34560

123212304 = 28268

5

3305 = 90

32430034205 = 70000485

3243223305 = 1401590

6

2306 = 90

551112535306 = 354748446

430403031506 = 373241578

7

2307 = 119

54116650560007 = 77478704205

54116650560007 = 77478704205

8

3108 = 200

332541001077308 = 1878528135128

332541001077308 = 1878528135128

9

1409 = 116

2103248114826009 = 48398467146642

2103248114826009 = 48398467146642

10

200

977731833235239280

977731833235239280

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Kuczma, E. Marcin;  International Mathematical Olympiads 1986 – 1999, Mathematical Association of America, 2003.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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