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Composti (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Fattori primi dei numeri composti
  3. 3. Numeri composti consecutivi
  4. 4. Fattori primi di numeri composti consecutivi
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di numeri composti
  6. 6. Proprietà basate sulle cifre

Ogni numero pari maggiore di 38 si può rappresentare come somma di due numeri composti dispari; infatti per ciascuno di essi vale una delle seguenti scomposizioni, che includono solo numeri composti:

  • 10n = 15 + (10n – 15);

  • 10n + 2 = 27 + (10n – 25);

  • 10n + 4 = 9 + (10n – 5);

  • 10n + 6 = 21 + (10n – 15);

  • 10n + 8 = 33 + (10n – 25).

Verificando i numeri minori di 40 si vede che gli unici interi pari non ottenibili come somma di due interi composti dispari sono 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32 e 38; accettando 1 come addendo, si possono togliere 10, 16, 22 e 28 dall’elenco.

Il minimo composto dispari è 9, quindi ogni numero dispari maggiore di 38 + 9 = 47 si può esprimere come somma di tre numeri composti dispari, sottraendo 9 e scomponendo come indicato il numero pari risultante.

Verificando i numeri minori di 48 si vede che gli unici interi dispari non ottenibili come somma di tre interi composti dispari sono 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41 e 47; eliminando i numeri composti, ottenibili come somma di un solo addendo, restano: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 e 47. Accettando 1 come addendo, restano solo 1, 5, 7, 13, 15, 21 e 29; eliminando da questi quelli esprimibili come somma di un solo addendo restano: 5, 7, 13 e 29.

 

Ogni intero pari maggiore di 6 può essere espresso come somma di due interi pari maggiori di 2, quindi composti.

Ogni intero dispari maggiore di 11 si può esprimere come somma di un numero pari maggiore di 2, quindi composto, e di un numero composto della forma 6n + 3, quindi se si rinuncia al vincolo che i due addendi siano dispari, si possono esprimere come somma di due numeri composti tutti gli interi, tranne 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 e 11, ma tra questi 4, 6 e 9 sono composti, quindi esprimibili come somma di un solo addendo.

 

Più in generale A.M. Vaidya dimostrò nel 1975 che 9n + 20 è il massimo tra gli interi della stessa parità di n che non possa essere espresso come somma di esattamente n interi composti dispari e che se k è un intero e p e q sono numeri primi dispari, il massimo intero pari che abbia meno di k rappresentazioni come somma di interi composti dispari, l’uno multiplo di p, l’altro di q, è 2kpq + p + q.

Nel 1980 lo stesso Vaidya dimostrò che ogni intero sufficientemente grande può essere espresso come somma di due numeri composti primi tra loro.

In seguito altri dimostrarono che le eccezioni sono in tutto 54: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 90, 96, 105, 108, 110, 120, 126, 132, 138, 140, 150, 180, 210.

 

Ogni numero composto si può rappresentare come xy + xz + yz + 1, con x, y e z interi positivi. Infatti, se n = ab, allora n = ab = (a – 1)(b – 1) + a + b – 1 = (a – 1)(b – 1) + (a – 1) + (b – 1) + 1 e la rappresentazione si ottiene per x = a – 1, y = b – 1 e z = 1.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Kuczma, E. Marcin;  International Mathematical Olympiads 1986 – 1999, Mathematical Association of America, 2003.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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