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Composti (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Fattori primi dei numeri composti
  3. 3. Numeri composti consecutivi
  4. 4. Fattori primi di numeri composti consecutivi
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di numeri composti
  6. 6. Proprietà basate sulle cifre

La minima coppia di interi consecutivi, ciascuno prodotto di due fattori primi distinti, è costituita da 14 e 15.

La minima terna di interi consecutivi, ciascuno prodotto di due fattori primi distinti, è costituita da 33, 34 e 35.

La minima coppia di interi consecutivi, ciascuno prodotto di tre fattori primi distinti, è costituita da 230 e 231.

La minima terna di interi consecutivi, ciascuno prodotto di tre fattori primi distinti, è 1309, 1310 e 1311; altre terne del genere iniziano con 1885 e 2013.

La minima coppia di interi consecutivi, ciascuno prodotto di quattro fattori primi distinti, è costituita da 7314 e 7315; altre coppie del genere iniziano con 8294 e 8645.

La minima terna di interi consecutivi, ciascuno prodotto di quattro fattori primi distinti, è costituita da 203434, 203435 e 203436.

La minima coppia di interi consecutivi, ciascuno prodotto di cinque fattori primi distinti, è costituita da 378014 e 378014.

Non si possono avere quaterne o sequenze più lunghe di interi, ciascuno prodotto di primi distinti, perché almeno uno deve essere multiplo di 4.

 

La minima coppia di interi consecutivi, ciascuno prodotto di almeno due fattori primi, è costituita da 8 e 9.

La minima coppia di interi consecutivi, ciascuno prodotto di almeno tre fattori primi, è costituita da 17 e 28.

La minima coppia di interi consecutivi, ciascuno prodotto di almeno quattro fattori primi, è costituita da 80 e 81.

 

Una sequenza di interi consecutivi con esattamente n fattori primi, non necessariamente distinti, è lunga al massimo 2n – 1.

A partire da 33 vi sono 3 interi consecutivi, ciascuno prodotto di 3 primi.

A partire da 4023 vi sono 4 interi consecutivi, ciascuno prodotto di 4 primi.

A partire da 623148 vi sono 5 interi consecutivi, ciascuno prodotto di 5 primi.

A partire da 211673 vi sono 7 interi consecutivi ciascuno prodotto di 3 primi.

A partire da 202536181 vi sono 11 interi consecutivi, ciascuno prodotto di 4 primi.

A partire da 97524222465 vi sono 15 interi consecutivi, ciascuno prodotto di 4 primi (B. Trial, 2002).

A partire da 2964449574354034208097486674428289322182221197109370 vi sono 8 interi consecutivi, ciascuno prodotto di 8 primi.

 

Ogni sequenza di 4 interi consecutivi maggiori di 11 contiene un multiplo di un primo maggiore di 11.

Ogni sequenza di 7 interi consecutivi maggiori di 36 contiene un multiplo di un primo maggiore di 41 (D.H. Lehmer).

 

Per ogni n > 16, esiste una sequenza di n interi consecutivi tale che nessuno sia primo rispetto a tutti gli altri (Pillai e Szekeres). Per esempio, da 2184 a 2200 vi sono 17 interi consecutivi, ciascuno dei quali ha almeno un fattore in comune con uno degli altri.

 

Ogni sequenza di 10 interi consecutivi che inizi con un intero superiore a 92 ne contiene almeno uno con almeno 3 fattori primi distinti.

 

A partire da 5879 vi sono 11 interi consecutivi con un numero dispari di fattori primi.

A partire da 118689518 vi sono 23 interi consecutivi con un numero dispari di fattori primi.

A partire da 179376463 vi sono 33 interi consecutivi con un numero dispari di fattori primi.

 

A partire da 880346227 vi sono 33 interi consecutivi con un numero pari di fattori primi.

 

A partire da 715466058 vi sono 53 interi consecutivi con almeno 3 fattori primi.

A partire da 6820213334 vi sono 65 interi consecutivi con almeno 3 fattori primi.

A partire da 74466436043 vi sono 84 interi consecutivi con almeno 3 fattori primi.

A partire da 300518372354 vi sono 105 interi consecutivi con almeno 3 fattori primi.

 

La seguente tabella riporta il minimo valore k tale che a partire da k vi siano n interi consecutivi con un numero differente di fattori primi (da 1 a n, sia in ordine crescente che non).

n

k (non in ordine)

k (in ordine crescente)

1

2

2

2

3

3

3

6

61

4

15

193

5

77

15121

6

726

838561

7

6318

807905281

8

189375

19896463921

9

755968

3059220303001

10

683441871

3931520917431241

 

Dato un intero n, esiste sempre un intero k tale che n – 2k o n + 2k hanno solo fattori primi maggiori o uguali a 331.

Una sequenza di interi consecutivi con esattamente n fattori primi, non necessariamente distinti, è lunga al massimo 2n – 1.

A partire da 33 vi sono 3 interi consecutivi, ciascuno prodotto di 3 primi.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Kuczma, E. Marcin;  International Mathematical Olympiads 1986 – 1999, Mathematical Association of America, 2003.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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