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Composti (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Fattori primi dei numeri composti
  3. 3. Scomposizione dei numeri composti
  4. 4. Numeri composti consecutivi
  5. 5. Fattori primi di numeri composti consecutivi
  6. 6. Rappresentazione di interi come somma di numeri composti
  7. 7. Proprietà basate sulle cifre

Il numero di interi non superiori a n con esattamente k fattori primi distinti tende a Limite asintotico cui tende il numero di interi con esattamente k fattori primi distinti non superiori a n (Landau).

 

Il numero di interi minori di n che sono il prodotto di k fattori primi distinti tende a 3 * k / π^2.

 

Il prodotto di n interi consecutivi maggiori di n è divisibile per un primo maggiore di n (Sylvester 1892).

 

J.W. Porter dimostrò nel 1972 che:

  • esistono infiniti interi n tali che (8n + 1)(n2 + n + 1) sia il prodotto di al massimo 6 fattori primi;

  • esistono infiniti primi p tali che (p + 2)(p + 6) sia il prodotto di al massimo 7 fattori primi;

  • esistono infiniti primi p tali che (p + 2)(p2 + p + 1) sia il prodotto di al massimo 9 fattori primi.

 

La distribuzione media dei fattori primi dei numeri interi è stata studiata a lungo, ma resta ancora moltissimo da scoprire.

E’ abbastanza ovvio che il fattore primo più comune sia 2, seguito da 3, 5 e via via dai primi nell’ordine, tuttavia, ordinando i fattori primi di ogni intero in ordine crescente non è affatto ovvio quale sia il valor medio del primo, secondo ecc..

Può sorprendere per esempio che il valore più frequente per il secondo minor fattore primo sia 3: J.M. De Kronink dimostrò nel 1994 che la sua frequenza come secondo minor fattore tra i numeri non superiori a n tende a Limite della frequenza di 3 come secondo minor fattore primo degli interi minori di n. La frequenza chiaramente diminuisce e tende a zero, però ogni altro primo ha minori probabilità di apparire come secondo minor fattore.

 

Considerando ogni numero scomposto come prodotto di fattori primi in ordine crescente, ciascuno elevato al corretto esponente, Scomposizione di n in fattori primi, la tabella mostra i valori cui tendono mediana e valore più probabile del k-esimo fattore primo pk, al crescere di k.

k

Mediana di pk

Valore più probabile di pk

Frequenza del valore più probabile

1

 

2

Un mezzo 

2

37

3

Un sesto 

3

42719

5 e 7

Un trentesimo 

4

5737850066077

13

 Trentuno diviso cinquemila cinque

5

 

23

 

6

 

47

 

7

 

113

 

8

 

199

 

9

 

283

 

10

 

467

 

11

 

887

 

12

 

1627

 

13

 

2083

 

14

 

4297

 

15

 

6397

 

16

 

10343

 

17

 

16111

 

18

 

24251

 

Questo significa che considerando intervalli sempre più grandi, a partire da 1, possiamo attenderci che il quarto fattore sia minore o maggiore di 42719 con probabilità circa Un mezzo. Com’è possibile che il limite sia finito, al crescere dell’intervallo? Il fatto è che anche tra numeri enormi ve n’è una percentuale piuttosto alta con parecchi fattori piccoli: ricordate che la tabella dà la mediana, non la media, che invece tende a infinito.

 

In generale possiamo aspettarci che molti numeri abbiano fattori non troppo grandi: la probabilità che il massimo fattore primo che divide n sia minore di n^(1 / (2 * m)) tende a 1 / m^m.

 

E.F. Ecklund e R.B. Eggleton dimostrarono nel 1972 che tra 4 interi consecutivi, maggiori di 11, ve n’è almeno uno divisibile per un primo maggiore di 11.

 

S.S. Pillai dimostrò nel 1941 che in ogni insieme di meno di 17 interi consecutivi ce n’è sempre almeno uno primo rispetto agli altri, ma lo stesso non è vero tra 17 o più interi consecutivi, però tra 6 insiemi consecutivi di 17 interi consecutivi, almeno 5 contengono un fattore primo rispetto agli altri del suo insieme (J.P. Zahlen, 1948).

 

 

Il minimo fattore primo di un intero n è una funzione piuttosto irregolare: varia da 2 per i numeri pari a n per i primi. Il grafico del minimo fattore primo mostra quindi “picchi”, separati da intervalli di valori inferiori.

Si chiamano “picchi gemelli” due picchi corrispondenti a interi distinti x e y che abbiano lo stesso minimo fattore primo p e tali che tutti gli interi intermedi abbiano un minimo fattore primo inferiore. In questo caso la differenza yx deve essere un multiplo pari di p.

I picchi gemelli di un primo p sono periodici con periodo p#, vale a dire che se x e y generano picchi gemelli, anche x + p# e y + p# lo fanno, come pure xp# e yp#; di conseguenza la minima coppia di picchi gemelli per un primo p, se esiste, è minore di p# / 2.

Si chiamano “fondamentali” i picchi gemelli di un primo p minori di p#; sono simmetrici, nel senso che se x e y generano picchi gemelli fondamentali, anche p# – x e p# – y lo fanno.

Trovare una coppia di picchi gemelli significa trovare due interi x e x + 2kp, aventi p come minimo fattore primo e tali che tutti gli interi compresi tra essi abbiano un fattore primo minore di p; in particolare tra essi non deve esserci alcun primo. Non sorprende quindi che i picchi gemelli siano piuttosto rari. David Wilson pose nel 1997 il problema della loro esistenza; nel giro di pochi giorni John Horton Conway, Johan de Jong, Derek Smith, e Manjul Bhargava collaborarono per trovare il primo esempio per p = 113 e differenza 2p, aprendo la caccia al minimo primo capace di produrre picchi gemelli. Poco dopo Fred Helenius trovò la soluzione per p = 89, e poi quella per p = 71. La tabella seguente riporta le minime soluzioni note, tutte con differenza 2p.

p

x

Numero di coppie fondamentali

71

7310131732015251470110369

240

73

2061519317176132799110061

40296

79

3756800873017263196139951

164440

83

6316254452384500173544921

6625240

89

9503844926749390990454854843625839

 

113

126972592296404970720882679404584182254788131

 

Da notare che la minima coppia di picchi gemelli nota si ha per p = 73, mentre il minimo primo noto che produca picchi gemelli è 71.

L’attenzione si spostò quindi su picchi con differenza 4p; Wilson trovò una coppia per p = 1327 e un’altra per p = 3203.

Non si conoscono picchi gemelli con differenze 6p o superiori e Conway suppose che esistano picchi con differenza kp solo per un numero finito di valori di k.

Un altro problema aperto è se tutti i primi abbastanza grandi producano picchi gemelli o se, se esiste un limite superiore q, tutti i primi tra il minimo e q li generino.

 

Chiamando P(n) è il massimo primo che divide nSomma per n da 1 a infinito di log(n)^r / P(2^n – 1) converge per r < 1 / 2 (K. Ford, Florian Luca e I. E. Shparlinski, 2009).

 

Per n > 239, il massimo fattore primo di n2 + 1 è almeno 17.

 

Per n > 3, il massimo fattore primo di n4 + 1 è almeno 137 (M. Mabkhout, 1993); in particolare, 104 + 1 = 73 • 137.

 

Il massimo fattore primo di n è dato da Formula per Il massimo fattore primo di n, come dimostrò Hardy, ma questa formula non ha interesse pratico.

 

Per ogni intero k > 0 esistono infiniti numeri composti n tali che per ogni primo p che divide n, p + k divida n + k: infatti, preso un primo q che non divida k, n = qmordq + k(q) + 1 soddisfa il requisto per qualsiasi intero m maggiore di 0, perché n + kqmordq + k(q) + 1 + k e dato che q + k e q sono primi tra loro, qmordq + k(q) + 1q mod (q + k) e n + kq + k ≡ 0 mod (q + k).

Per esempio, per k = 5, prendiamo q = 2 e otteniamo n = 2mord7(2) + 1, che per m = 1 ci dà n = 24 = 16 e infatti 16 + 5 = 21 è divisibile per 2 + 5 = 7.

 

In alcuni casi particolari esistono semplici famiglie infinite di soluzioni:

  • se k = 1, n = p2r + 1, con p primo e r intero maggiore di zero;

  • se k = 2, n = 2 • 34r + 2, con r intero non negativo;

  • se k = 6, n = 2 • 712r + 2, con r intero maggiore di zero;

  • se k = p con p primo dispari, n = pr, con r intero maggiore di zero;

  • se k = pm con p primo e m > 1, n = p2r(m – 1) + 2m – 1, con r intero non negativo;

  • se k = 2p con p primo della forma 3s + 1, n = p2r, con r intero non negativo;

  • se k = 2p con p primo della forma 3s + 2, n = 2p2r, con r intero non negativo;

  • se k = 3p con p primo dispari, n = p2r + 1, con r intero non negativo.

 

Ho avanzato la congettura che per ogni k esistano infiniti valori di n che non sono potenze tali che per ogni primo p che divide n, p + k divida n + k (v. congetture di Fiorentini).

 

Nella maggioranza dei casi n è multiplo di un quadrato, ma vi sono rare eccezioni, come 165 (per k = 3).

 

Per ogni intero k > 0 esistono infiniti numeri composti n tali che per ogni primo p che divide n, p – k divida n – k: infatti, preso un primo q che non divida k, n = qmordq – k(q) + 1 soddisfa il requisto per qualsiasi intero m maggiore di 0, perché n – kqmordq – k(q) + 1 – k e dato che q – k e q sono primi tra loro, qmordq – k(q) + 1q mod (q – k) e n – kq – k ≡ 0 mod (q – k).

Per esempio, per k = 5, prendiamo q = 11 e otteniamo n = 11mord6(11) + 1, che per m = 1 ci dà n = 112 = 121 e infatti 121 – 6 = 115 è divisibile per 11 – 6 = 5.

 

Ho avanzato la congettura che per ogni k esistano infiniti valori di n che non sono potenze tali che per ogni primo p che divide n, p + k divida n + k (v. congetture di Fiorentini).

 

La tabella seguente mostra per ogni valore di k da 1 a 20 gli interi n inferiori a 1000 tali che per ogni fattore primo p di n, p + k divida n + k.

k

n

1

8, 27, 32, 63, 125, 128, 243, 275, 343, 399, 512, 567, 575, 935

2

18, 243, 250, 598

3

9, 27, 32, 45, 81, 125, 147, 165, 243, 357, 405, 512, 567, 621, 637, 729, 845

4

8, 32, 50, 128, 176, 320, 392, 500, 512

5

16, 25, 27, 75, 125, 128, 175, 243, 343, 363, 475, 625, 675, 715, 891, 931

6

98, 507

7

49, 63, 125, 128, 243, 245, 273, 343, 425, 513, 605, 833

8

32, 112, 135, 432, 512, 532, 729, 832, 847

9

27, 75, 231, 243, 343, 459, 567, 891

10

50, 81, 125, 242, 245, 935

11

121, 297, 325, 637

12

16, 128, 243, 338, 828

13

32, 147, 169, 243, 275, 512

14

49, 343

15

25, 125, 512, 625

16

128, 578

17

243, 289, 343

18

722

19

125, 128, 361, 729, 845

20

486

 

La tabella seguente mostra per ogni valore di k da 1 a 20 gli interi n inferiori a 1000 tali che per ogni fattore primo p di n, pk divida nk.

k

n

1

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 45, 49, 64, 81, 121, 125, 128, 169, 225, 243, 256, 289, 325, 343, 361, 405, 512, 529, 561, 625, 637, 729, 841, 891, 961

2

9, 27, 81, 125, 147, 243, 567, 605, 729

3

25, 35, 125, 175, 275, 343, 539, 625, 875, 931

4

25, 49, 125, 175, 343, 625

5

49, 77, 221, 343, 539, 637, 833

6

49, 121, 343

7

169, 187, 247

8

143

9

121, 169, 209, 289

10

121, 169, 361

11

169, 221, 299, 323

12

169, 529

13

289, 361, 493, 589

14

-

15

289, 323, 391, 527, 841

16

289, 361, 961

17

361, 437

18

361

19

943

20

713

 

Bibliografia

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  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Kuczma, E. Marcin;  International Mathematical Olympiads 1986 – 1999, Mathematical Association of America, 2003.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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