Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Composti (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Fattori primi dei numeri composti
  3. 3. Scomposizione dei numeri composti
  4. 4. Numeri composti consecutivi
  5. 5. Fattori primi di numeri composti consecutivi
  6. 6. Rappresentazione di interi come somma di numeri composti
  7. 7. Proprietà basate sulle cifre

Si dicono “composti” i numeri interi uguali al prodotto di due o più fattori, diversi dal numero stesso e da uno.

 

Uno non è né primo né composto.

 

E’ noto che se un polinomio a una variabile produce solo numeri primi, è una costante (v. numeri primi), quindi qualsiasi polinomio a una variabile che non si riduca a una costante produce infiniti numeri composti.

 

Vi sono vari polinomi che producono solo numeri composti. In particolare se a e b hanno un divisore comune e b è composto, an + b produce numeri composti per qualsiasi valore positivo di n ed esistono polinomi di grado superiore al primo che producono solo numeri composti, pur essendo i coefficienti primi tra loro, come n2 + n + 4 (tutti i valori sono pari) o n3n + 9 (tutti i valori sono multipli di 3).

 

Sono anche stati cercati polinomi della forma nk + m che producano molti numeri composti, (non possono produrre solo numeri composti) per valori consecutivi della variabile. Per esempio:

  • n6 + 1091 produce numeri composti per tutti i valori di n da 1 a 3905 (Shanks);

  • n6 + 82991 produce numeri composti per tutti i valori di n da 0 a 7979;

  • n12 + 4094 produce numeri composti per tutti i valori di n da 0 a 170624;

  • n12 + 488669 produce numeri composti per tutti i valori di n da 0 a 616979.

 

Dati quattro interi positivi a, b, c e d, tali che ab = cd, an + bn + cn + dn è sempre composto per n ≥ 0.

 

Con funzioni esponenziali è più facile produrre numeri composti, come nel caso dei numeri di Sierpiński e di Riesel.

 

Un’altra funzione del genere è Espressione che produce solo numeri composti, che produce valori composti per ogni n > 2 e ogni a > 2 (Crocker 1961).

 

Sebbene si sappia che per quasi tutti i reali x (nel senso che le eccezioni formano un insieme di misura di Lebesgue nulla), Massimo intero non superiore a x alla n è un numero composto per infiniti valori di n, è molto difficile dimostrare che uno specifico numero reale non intero e maggiore di 1 abbia questa proprietà.

W. Forman e H.N.Shapiro dimostrarono nel 1967 che la proprietà vale per Quattro terzi e Tre mezzi.

 

La tabella seguente mostra il 10n-esimo il numero composto per i primi valori di n.

n

Numero composto

0

4

1

18

2

133

3

1197

4

11374

5

110487

6

1084605

7

10708555

8

106091745

9

1053422339

10

10475688327

11

104287176419

12

1039019056246

13

10358018863853

14

103307491450820

 

Erdös dimostrò che il numero di interi non superiori a n esprimibili come prodotto di due interi non superiori a Radice quadrata di n tende a Limite cui tende il numero di interi non superiori a n esprimibili come prodotto di due interi non superiori alla radice quadrata di n, dove Valore di k.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante.

 

G. Pólya propose il problema di dimostrare che il massimo intero divisibile per tutti gli interi inferiori alla sua radice quadrata è 24; il problema venne in seguito generalizzato alle radici n-esime e risolto da vari matematici:

  • Y. Yanagihara per la radici quadrata;

  • N Karumi per la radice cubica;

  • T. Tannaka per la radice quarta;

  • Nobuo Ozeki per le radici dalla quinta alla decima.

Il problema si riconduce alla soluzione di equazioni via via più numerose e compicate al crescere di n, ma comunque affrontabili con un calcolatore elettronico per n non troppo grande.

La tabella seguente mostra il massimo intero divisibile per tutti i numeri inferiori alla sua radice n-esima, per i primi valori di n (H.W. Gould, T.D. Noe, N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Massimo intero

1

2

2

24

3

420

4

27720

5

720720

6

36756720

7

5354228880

8

481880599200

9

25619985190800

10

10685862914126400

11

876240758958364800

12

113035057905629059200

13

24792356033967973651200

14

9690712164777231700912800

15

2364533768205644535022723200

16

396059406174445459616306136000

17

44992348541417004212412377049600

18

13958876134974625556900939979638400

19

8076030954443701744994070304101969600

20

5031367284618426187131305799455527060800

21

1185246378905112111797074751900309160465600

22

190127463251425925227683696966596651799393600

23

47144569128455428496271938933013503103590376000

24

16918372607543866540062142270022661129143832470400

25

21029537151177026109297242841638167783525783760707200

26

4994515073404543700958095174889064848587373643167960000

27

3498684095841321833803782291563341974145184644268856864000

28

958639442260522182462236347888355700915780592529666780736000

29

1032694339175147521057444105762731178811524643302583539547856000

30

749502901196827228266820481792118993292919127408542808267329424000

31

353015866463705624513672446924088045840964909009423662693912158704000

32

115083172467168033591457217697252702944154560337072114038215363737504000

33

41640927904370300154508936603455936348626591748630593262827592445686864000

34

36019402637280309633650230161989384941562001862565463172345867465519137360000

35

10315956915317080679077425918393759847263357333438748652559856442124680939904000

36

13070317411706741220391098638604893726482673741466894542793338112171970750858368000

37

3655487701824124660602953337104104384717350645336687541593379669872096533927567136000

38

1694942657451890777082742546707745765991931571784709719742949858880572955078780854608000

39

4384816654828041440313054968332938296621126976207044044975011284924042234788806070870896000

40

15870675235355679530080782724997672743916452893190003342169938922271612251809053234822174576000

41

3602643278425739253328337678574471712869034806754130758672576135355655981160655084304633628752000

42

2475015932278482867036567985180662066741026912240087831208059804989335659057370042917283302952624000

43

1730036136662659524058561021641282784651977811655821394014433803687545625681101659999181028763884176000

44

643188990363695418611105019823525799716168639755597598263588389682058629280996239373028858027106272544000

45

963267397211114417287074210759990388760636276411115345913761269033123091438189153638164004732452658316432000

46

717003104696521234881337376326384570061623953883115029548084508736172243164991416221841662281197347669603488000

47

1127045508128896902020104060541317662210121503881712278190339070464805071808486856136058134773218835496189985056000

48

303175241686673266643407992285614451134522684544180602833201209955032564316482964300599638253995866748475105980064000

49

410802452485442276301817829547007581287278237557364716838987639489069124648834416627312509834164399444183768602986720000

50

250343014544628523178327785325946420036467357967458058441679067504638724560999693492684243492939785021285588586660107168000

 

 

Amarnath Murthy dimostrò nel 2001 che il massimo intero divisibile per tutti i numeri inferiori alla sua radice n-esima, è minore di p(2 * n)^n.

 

Il minimo quadrato magico di numeri composti è il seguente.

21

8

16

10

15

20

14

22

6

 

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Kuczma, E. Marcin;  International Mathematical Olympiads 1986 – 1999, Mathematical Association of America, 2003.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.