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Composti (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Fattori primi dei numeri composti
  3. 3. Numeri composti consecutivi
  4. 4. Fattori primi di numeri composti consecutivi
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di numeri composti
  6. 6. Proprietà basate sulle cifre

Si dicono “composti” i numeri interi uguali al prodotto di due o più fattori, diversi dal numero stesso e da uno.

 

Uno non è né primo né composto.

 

E’ noto che se un polinomio a una variabile produce solo numeri primi, è una costante (v. numeri primi), quindi qualsiasi polinomio a una variabile che non si riduca a una costante produce infiniti numeri composti.

 

Vi sono vari polinomi che producono solo numeri composti. In particolare se a e b hanno un divisore comune e b è composto, an + b produce numeri composti per qualsiasi valore positivo di n ed esistono polinomi di grado superiore al primo che producono solo numeri composti, pur essendo i coefficienti primi tra loro, come n2 + n + 4 (tutti i valori sono pari) o n2n + 9 (tutti i valori sono multipli di 3).

 

Sono anche stati cercati polinomi della forma nk + m che producano molti numeri composti, (non possono produrre solo numeri composti) per valori consecutivi della variabile. Per esempio:

  • n6 + 1091 produce numeri composti per tutti i valori di n da 1 a 3905 (Shanks);

  • n6 + 82991 produce numeri composti per tutti i valori di n da 0 a 7979;

  • n12 + 4094 produce numeri composti per tutti i valori di n da 0 a 170624;

  • n12 + 488669 produce numeri composti per tutti i valori di n da 0 a 616979.

 

Dati quattro interi positivi a, b, c e d, tali che ab = cd, an + bn + cn + dn è sempre composto per n ≥ 0.

 

Con funzioni esponenziali è più facile produrre numeri composti, come nel caso dei numeri di Sierpiński e di Riesel.

 

Un’altra funzione del genere è Espressione che produce solo numeri composti, che produce valori composti per ogni n > 2 e ogni a > 2 (Crocker 1961).

 

Sebbene si sappia che per quasi tutti i reali x (nel senso che le eccezioni formano un insieme di misura di Lebesgue nulla), Massimo intero non superiore a x alla n è un numero composto per infiniti valori di n, è molto difficile dimostrare che uno specifico numero reale non intero e maggiore di 1 abbia questa proprietà.

W. Forman e H.N.Shapiro dimostrarono nel 1967 che la proprietà vale per Quattro terzi e Tre mezzi.

 

La tabella seguente mostra il 10n-esimo il numero composto per i primi valori di n.

n

Numero composto

0

4

1

18

2

133

3

1197

4

11374

5

110487

6

1084605

7

10708555

8

106091745

9

1053422339

10

10475688327

11

104287176419

12

1039019056246

13

10358018863853

14

103307491450820

 

Erdös dimostrò che il numero di interi non superiori a n esprimibili come prodotto di due interi non superiori a Radice quadrata di n tende a Limite cui tende il numero di interi non superiori a n esprimibili come prodotto di due interi non superiori alla radice quadrata di n, dove Valore di k.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Kuczma, E. Marcin;  International Mathematical Olympiads 1986 – 1999, Mathematical Association of America, 2003.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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