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Primi di Wall – Sun – Sun

Teoria dei numeri 

I resti dei numeri di Fibonacci modulo un numero primo p si susseguono periodicamente (v. numeri di Pisano); chiamando P(p) il periodo, è noto che p divide FP(p); i primi di Wall – Sun – Sun sono i primi p tali che p2 divida FP(p).

 

Se p non è 2 o 5, p divide p – Legendre(p | 5), dove Simbolo di Legendre (p | 5) è il simbolo di Legendre e vale 1 se p è un residuo quadratico modulo 5, –1 altrimenti. Definizioni equivalenti dei primi di Wall – Sun – Sun è che sono i primi p tali che:

  • F(p – Legendre (p | 5)) ≡ 0 mod p^2;

  • F(p) ≡ Legendre (p | 5) mod p^2;

  • Lp ≡ 1 mod p2.

 

I primi di Wall – Sun – Sun devono il loro nome a Donald Dines Wall, Zhi-Hong Sun e Zhi-Wei Sun, perché nel 1960 Wall dimostrò che se P(p) = P(ps) ≠ P(ps + 1), allora P(pt) = ptsP(p) per ts e nel 1992 i due ultimi matematici dimostrarono che se esiste un controesempio al primo caso dell’ultimo teorema di Fermat (ossia esistono tre interi x, y e z non multipli di p e tali che xp + yp = zp con p primo), allora p2 divide F(p – Legendre (p | 5)).

Prima della dimostrazione di Wiles dell’ultimo teorema di Fermat, questo era uno dei criteri più forti trovati per dimostrare la non esistenza di soluzioni per esponenti fissati, perché nessun primo del genere è stato trovato, nonostante siano stati esaminati tutti quelli inferiori a 6.7 • 1014 (F.G. Dorais e D.W. Klyve, 2010) e poi fino a 1.7 • 1017 (primeGrid, 2016).

Inizialmente Wall suppose che non esistano primi di Wall – Sun – Sun e tentò, senza successo, di dimostrarlo, perché questo avrebbe potuto dimostrare che il primo caso dell’ultimo teorema di Fermat è vero. L’opinione più diffusa oggi è che esistano infiniti primi del genere, ma siano rarissimi.

 

I primi di Wall – Sun – Sun sono anche chiamati “primi di Fibonacci – Wieferich”, perché la definizione coinvolge numeri di Fibonacci, considerati modulo p2, come nel caso dei primi di Wieferich.

 

Se al posto dei numeri di Fibonacci si utilizzano i numeri di tribonacci, si possono definire i primi di tribonacci – Wieferich come i primi p, tali che p2 divida il periodo dei resti dei numeri di tribonacci modulo p. Anche questi non è chiaro se esistano: non ce n’è nessuno minore di 1011 (Jiří Klaška, 2008).

M.E. Waddill dimostrò nel 1978 che se p è primo e P(p) = P(ps) ≠ P(ps + 1), allora P(pt) = ptsP(p) per ts, dove P(p) è il periodo dei resti dei numeri di tribonacci modulo p.

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