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agm(x, y)

Funzioni 

E’ la funzione chiamata “media aritmetico-geometrica” di Gauss.

 

Nel 1704 Gauss scoprì un procedimento interessante: si inizia con due numeri qualsiasi e se ne calcolano le medie aritmetica e geometrica; le due medie appena calcolate prendono il posto dei due numeri iniziali e si ripete.

Formalmente, dati due numeri qualsiasi x e y, si definiscono x0 = x e y0 = y e si itera Formula per la definizione di x(n + 1) e Formula per la definizione di y(n + 1).

Il procedimento converge piuttosto rapidamente a un numero, intermedio tra x e y, ma che non sembra legato a questi da una relazione semplice.

Il limite delle due successioni è chiamato media aritmetico-geometrica dei due numeri, si indica con agm(x, y) ed è uguale a Formula per il calcolo di agm(x, y), per ab > 0, come dimostrò lo stesso Gauss nel 1818.

Da questo integrale si può ricavare l’espansione in serie Formula per il calcolo di agm(x, y).

 

La funzione ha le seguenti proprietà:

  • agm(x, x) = x;

  • agm(x, y) = agm(y, x);

  • agm(kx, ky) = kagm(x, y);

  • Proprietà della funzione agm;

  • Proprietà della funzione agm;

  • Proprietà della funzione agm.

 

La figura seguente mostra parte del grafico della funzione agm(1, x).

 Grafico della funzione agm(x, y)

 

Se un argomento è 1, la funzione può essere calcolata tramite un prodotto infinito: Formula per il calcolo di agm(1, x), dove x0 = x e Formula per la definizione di x(n + 1).

In particolare, Formula per la definizione della costante di Gauss si chiama “costante di Gauss” ed è di solito indicato con G, mentre Formula per la definizione della costante M è di solito indicato con M.

 

La figura seguente mostra parte del grafico della funzione agm(1, x).

Grafico della funzione agm(1, x) 

 

La derivata della funzione è data da Formula per la derivata della funzione agm.

 

Le soluzioni dell’equazione differenziale (x3x)y” +(3x2 – 1)y’ + xy = 0 sono Soluzione dell'equazione differenziale e Soluzione dell'equazione differenziale.

 

La funzione non è limitata ad argomenti reali. Per esempio, agm(1, i) è un numero complesso, che ha parte immaginaria e reale uguali, pari a circa 0.5990701174.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continuefrazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di alcuni valori della funzione, tra i quali agm(1, i).

 

L’iterazione che definisce la funzione converge in modo quadratico, raddoppiando a ogni passo il numero di cifre di precisione, e fornisce quindi un eccellente metodo per il calcolo di tutte le costanti che si riesce a esprimere tramite questa funzione.

 

Nel 1976 E. Salamin dimostrò che dati due numeri k1 e k2 tali che Somma dei quadrati di k1 e k2 uguale a 1, Formula per esprimere π come prodotto di funzioni agm, dove Formula per c(1, n), utilizzando i valori di xn, yn della successione utilizzata per calcolare agm(1, k1) e Formula per c(2, n), utilizzando i valori di xn, yn della successione utilizzata per calcolare agm(1, k2). In particolare, prendendo K1 e k2 uguali alla metà della radice quadrata di 2, Formula per esprimere π tramite la funzione agm. Un interessante risultato collaterale è il prodotto infinito Prodotto infinito per calcolare exp(π), iniziando con x0 = 1, y(0) uguale alla metà della radice quadrata di 2.

Da queste espressioni sono stati derivati gli algoritmi più efficienti oggi conosciuti per il calcolo di π.

 

Nello stesso anno R. P. Brent mostrò come, basandosi sul calcolo della media aritmetico-geometrica sia possibile calcolare le funzioni trigonometriche ed esponenziali e le loro inverse, π, e, eπ in un tempo circa proporzionale a nlog2nloglogn, dove n è il numero di cifre, mentre γ e la funzione Γ con argomento razionale richiedono in tempo circa proporzionale a nlog3nloglogn.

Per esempio, Formula che coinvolge i logaritmi e la funzione agm, per x > 1.

 

I Borwein nel 1984 dimostrarono che Formula che coinvolge i logaritmi e la successione utilizzata per calcolare la funzione agm, dove yn è il termine della successione che inizia con x0 = x, Valore di y'(0), per qualsiasi valore di x e y con x > y, e ricavarono algoritmi per il calcolo di π e dei logaritmi capaci di raddoppiare il numero di cifre corrette a ogni iterazione. Dato che l’algoritmo di Newton permette di calcolare l’inversa di una funzione con n cifre di precisione in tempo proporzionale a nlog2nloglogn, e che nel campo complesso le funzioni esponenziali sono legate a quelle trigonometriche, ne ricavarono algoritmi capaci di calcolare le funzioni logaritmiche, esponenziali, trigonometriche dirette e inverse in un tempo poco più che proporzionale al numero di cifre desiderate.

 

Se nella definizione della funzione si sostituisce la media geometrica con la media armonica, ovvero se l’iterazione diviene Formula per la definizione di x(n + 1), Formula per la definizione di y(n + 1), i valori ottenuti convergono a Limite al quale tendono le successioni x(n) e y(n).

 

Schwab dimostrò nel 1813 che, dati due numeri positivi qualsiasi x e y, se si inizia con x0 = x e y0 = y e si itera Formula per la definizione di x(n + 1) e Formula per la definizione di y(n + 1), i valori ottenuti convergono a Limite al quale tendono le successioni x(n) e y(n), detta “media di Schwab – Schoenberg” dei numeri.

 

B.C. Carlson dimostrò invece che, dati due numeri positivi qualsiasi x e y, se si inizia con x0 = x e y0 = y e si itera Formula per la definizione di x(n + 1) e Formula per la definizione di y(n + 1), i valori ottenuti convergono a Limite al quale tendono le successioni x(n) e y(n).

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