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Completamente esclusionari (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “completamente esclusionari” di ordine n i numeri naturali tali che le loro cifre e quelle della loro potenza n-esima siano tutte diverse.

Per esempio, in base 10 è completamente esclusionario del terzo ordine 27, perché 273 = 19683 e non ci sono cifre ripetute due volte tra 27 e 19683.

 

In base b il massimo ordine possibile è teoricamente Massimo ordine dei numeri completamente esclusionari in base b, perché per ordini superiori qualsiasi potenza con base maggiore di 1 ha almeno b cifre, quindi sono necessarie b + 1 cifre diverse per rappresentare il numero e la potenza, ma le cifre disponibili sono solo b.

In pratica l’ordine massimo è di solito inferiore. Per esempio, in base 10 l’ordine massimo ricavato dalla formula è 29, ma non esistono numeri completamente esclusionari per ordini maggiori di 20.

Ogni intero n maggiore di 1 è completamente esclusionario di ordine k in qualsiasi base b ≤ nk, semplicemente perché nk si rappresenta con una singola cifra, diversa da n o come 10b. In particolare 2 è completamente esclusionario del secondo ordine in qualsiasi base maggiore di 3 e quindi esistono numeri completamente esclusionari in qualsiasi base maggiore di 3. Non ne esistono invece in base 2 e 3.

 

Sono in numero finito in qualsiasi base, perché per ogni base sono in numero finito i numeri esclusionari per ogni ordine fissato, in quanto le combinazioni di cifre differenti sono in numero finito.

 

Esistono anche rarissimi casi di numeri naturali che richiedono tutte le cifre per essere rappresentati insieme con una loro potenza. Gli unici esempi in basi fino a 20 sono:

  • Numero che richiede tutte le cifre per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 6,

  • Numero che richiede tutte le cifre per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 8,

  • Numero che richiede tutte le cifre per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 9,

  • Numero che richiede tutte le cifre per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 18,

  • Numero che richiede tutte le cifre per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 18,

  • Numero che richiede tutte le cifre per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 18,

  • Numero che richiede tutte le cifre per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 18.

 

Vi sono anche alcuni esempi di numeri naturali che per essere rappresentati insieme con una loro potenza necessitano di tutte le cifre, tranne lo zero. Nelle basi fino a 20 sono:

  • Numero che richiede tutte le cifre tranne lo zero per essere rappresentato insieme con la sua sesta potenza in base 8,

  • 5672 = 321489,

  • 8542 = 729316,

  • Numero che richiede tutte le cifre tranne lo zero per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 13,

  • Numero che richiede tutte le cifre tranne lo zero per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 13,

  • Numero che richiede tutte le cifre tranne lo zero per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 16,

  • Numero che richiede tutte le cifre tranne lo zero per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 16,

  • Numero che richiede tutte le cifre tranne lo zero per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 16,

  • Numero che richiede tutte le cifre tranne lo zero per essere rappresentato insieme col suo quadrato in base 16.

Vedi anche

Numeri esclusionari.

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